广东省2024届高三“百日冲刺”联合学业质量监测数学试卷考生注意：1．满分150分，考试时间120分钟。2．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。3．本卷命题范围：高考范围。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若集合，则（）A． B． C． D．2．已知复数，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知随机变量的分布列如下：12则是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为（）A． B． C． D．5．已知点分别在平面的两侧，四棱锥与四棱锥的所有侧棱长均为2，则下列结论正确的是（）A．四边形可能是的菱形B．四边形一定是正方形C．四边形不可能是直角梯形D．平面不一定与平面垂直6．已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一点，且，则椭圆的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．7．已知，则（）A． B． C． D．8．已知函数的定义域为，且满足是偶函数，，若，则（）A．202 B．204 C．206 D．208二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A．函数的周期为B．函数的图象关于点对称C．函数在单调递减D．将该图象先向右平移个单位，再把图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得的图象10．已知为坐标原点，为抛物线的焦点，点，直线交抛物线于两点（不与点重合），则以下说法正确的是（）A． B．存在实数，使得C．若，则 D．若直线与的倾斜角互补，则11．将圆柱的下底面圆置于球的一个水平截面内，恰好使得与水平截面圆的圆心重合，圆柱的上底面圆的圆周始终与球的内壁相接（球心在圆柱内部）．已知球的半径为3，．若为上底面圆的圆周上任意一点，设与圆柱的下底面所成的角为，圆柱的体积为，则（）A．可以取到中的任意一个值 B．C．的值可以是任意小的正数 D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．展开式中的系数为，则的值为______．13．等差数列的通项公式为，其前项和为，则数列的前100项的和为______．14．已知平面向量，满足，若，则的最大值是______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。15．（本小题满分13分）设锐角三角形的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若点在上（与不重合），且，求的值．16．（本小题满分15分）如图，在正四棱柱中，分别为的中点．（1）证明：；（2）求平面与平面夹角的余弦值．17．（本小题满分15分）某工厂生产某种电子产品配件，关键环节是需要焊接“接线盒”，焊接是否成功直接导致产品“合格”与“不合格”，公司检验组经过大量后期出厂检测发现“不合格”产品和“合格”产品的性能指标有明显差异，得到如下的“不合格”产品和“合格”产品该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的产品判定为“不合格”，小于或等于的产品判定为“合格”．此检测标准的漏检率是将“不合格”产品判定为“合格”产品的概率，记为；错检率是将“合格”产品判定为“不合格”产品的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．（1）当漏检率时，求临界值和错检率；（2）设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值．18．（本小题满分17分）已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与双曲线交于两点，是双曲线上一点（与不重合），直线的斜率分别为，且．（1）求双曲线的标准方程；（2）已知直线，且与双曲线交于两点，为的中点，为坐标原点，且，若直线与圆相切，求直线的方程．19．（本小题满分17分）已知函数．（1）判断是否成立，并给出理由；（2）①证明：当时，；②证明：当时，．