专题21指数、对数、幂函数小题解题秘籍指数的基本知识根式的基本性质①的定义域为,的定义域为②，定义域为③，定义域为④，定义域为⑤，定义域为指数的基本性质①零指数幂:;②负整数指数幂:③正分数指数幂:;④负分数指数幂:指数的基本计算①同底数幂的乘法运算②同底数幂的除法运算③幂的乘方运算④积的乘方运算指数函数指数函数的定义及一般形式一般地，函数，叫做指数函数指数函数的图象和性质图象定义域值域性质过定点当时，；时,当时，；时,在上是增函数在上是减函数对数的运算对数的定义如果，那么把叫做以为底，的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数对数的分类一般对数：底数为，，记为常用对数：底数为10，记为，即：自然对数：底数为e（e≈2.71828…），记为，即：对数的性质与运算法则①两个基本对数：①，②②对数恒等式：①，②。③换底公式：；推广1：对数的倒数式推广2：。④积的对数：；⑤商的对数：；⑥幂的对数：❶，❷，❸，❹对数函数对数函数的定义及一般形式形如：的函数叫做对数函数对数函数的图象和性质图象性质定义域：值域：当时，即过定点当时，；当时，当时，；当时，在上为增函数（5）在上为减函数幂函数幂函数的定义及一般形式形如的函数称为幂函数，其中是自变量，为常数幂函数的图象和性质①幂函数的单调性②幂函数的奇偶性模拟训练一、单选题1．（22·23下·湖北·三模）函数的定义域是（    ）A． B． C． D．2．（22·23·深圳·二模）已知函数，则（    ）A．2 B．-2 C． D．-3．（23·24上·吉林·一模）已知，，，则（    ）A． B． C． D．4．（22·23·聊城·三模）设，，则（）A． B．C． D．5．（22·23·广州·二模）已知，，，则（    ）A． B．C． D．6．（22·23下·辽宁·二模）“”是“函数是奇函数”的（    ）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．（22·23·济宁·三模）若且，则（）A． B． C． D．8．（22·23下·威海·二模）已知，，则（    ）A． B．2 C．6 D．99．（22·23下·河北·一模）若函数，则（    ）A． B． C． D．10．（22·23·三明·三模）17世纪，法国数学家马林·梅森在欧几里得､费马等人研究的基础上，对（为素数）型的数作了大量的研算，他在著作《物理数学随感》中断言：在的素数中，当，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，是素数，其它都是合数.除了和两个数被后人证明不是素数外，其余都已被证实.人们为了纪念梅森在型素数研究中所做的开创性工作，就把型的素数称为“梅森素数”，记为.几个年来，人类仅发现51个梅森素数，由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们答为“数海明珠”.已知第7个梅森素数，第8个梅森素数，则约等于（参考数据：）（    ）A．17.1 B．8.4 C．6.6 D．3.611．（22·23·唐山·二模）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，以神经网络为出发点．在训练神经网络时，需要设置学习率来控制参数更新的速度，在模型训练初期，会使用较大的学习率进行模型优化，随着选代次数增加，学习率会逐渐进行减小，保证模型在训练后期不会有太大的波动．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个知识衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为12，且当训练迭代轮数为12时，学习率衰减为0.3，则学习率衰减到0.1以下（不含0.1）所需的训练选代轮数至少为（    ）（参考数据：）A．31 B．32 C．33 D．3412．（22·23·德州·三模）2023年1月底，人工智能研究公司OpenAI发布的名为“ChatGPT”的人工智能聊天程序进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.8，衰减速度为12，且当训练迭代轮数为12时，学习率衰减为0.5．则学习率衰减到0.4以下（不含0.4）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：）（    ）A．16 B．17 C．18 D．1913．（22·23下·浙江·三模）已知，且满足，则下列判断正确的是（    ）A． B．C． D．14．（22·23下·江苏·三模）已知，（b＞1），则（    ）A． B．C． D．15．（22·23·石家庄·三模）已知函数同时满足性质：①；②对于，，则函数可能是（    ）A． B．C． D．16．（22·23·哈尔滨·一模）若，则下列结论正确的是（    ）A． B． C． D．17．（22·23·张家口·一模）已知实数a，b，c满足，，，则（    ）A． B． C． D．18．（22·23·石家庄·三模）18世纪数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当很大时，（常数）.利用以上公式，可以估计的值为（    ）A． B． C． D．19．（22·23下·大庆·二模）已知函数，则（    ）A．B．函数有一个零点C．函数是偶函数D．函数的图象关于点对称20．（22·23上·绵阳·二模）经研究发现：某昆虫释放信息素t秒后，在距释放处x米的地方测得信息素浓度y满足函数（A，K为非零常数）．已知释放1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为a，则释放信息素4秒后，信息素浓度为的位置距释放处的距离为（    ）米．A． B．2 C． D．421．（22·23·成都·二模）“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件22．（22·23·吕梁·二模）已知，分别是方程，的根，则的值为（    ）A． B． C．10 D．523．（23·24上·长春·一模）8月29日，华为在官方网站发布了Mate60手机，其中大部分件已实现国产化，5G技术更是遥遥领先，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，位道内信号的平均功率以及信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至5000，则大约增加了（    ）（参考数值：）A． B． C． D．24．（22·23下·武汉·一模）已知函数若的值域为,则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．25．（22·23·厦门·三模）已知，则以下四个数中最大的是（    ）A． B． C． D．26．（22·23下·江苏·三模）星载激光束与潜艇通信传输中会发生信号能量衰减．已知一星载激光通信系统在近海水下某深度的能量估算公式为，其中EP是激光器输出的单脉冲能量，Er是水下潜艇接收到的光脉冲能量，S为光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积（单位：km2，光斑面积与卫星高度有关）．若水下潜艇光学天线接收到信号能量衰减T满足（单位：dB）．当卫星达到一定高度时，该激光器光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积为75km2，则此时Γ大小约为（    ）（参考数据：1g2≈0.301）A．－76.02 B．－83.98 C．－93.01 D．－96.0227．（22·23下·浙江·三模）函数的图像大致为（    ）A． B．C． D．28．（23·24·绵阳·一模）纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通､安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量C、放电时间t和放电电流I之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为时，放电时间为；当放电电流为时，放电时间为，则该蓄电池的Peukert常数约为（    ）（参考数据：，）A．0.82 B．1.15 C．3.87 D．5.529．（22·23下·长沙·三模）已知实数满足：，则（    ）A． B． C． D．30．（22·23下·温州·三模）已知函数，存在实数使得成立，若正整数的最大值为6，则的取值范围为（    ）A． B．C． D．二、多选题31．（22·23·厦门·一模）已知实数，，满足，则下列关系式中可能成立的是（    ）A． B． C． D．32．（22·23·青岛·三模）已知实数a，b，满足a＞b＞0，，则（    ）A． B． C． D．33．（22·23·烟台·二模）已知实数a，b满足，则（    ）．A． B．C． D．34．（22·23·铜陵·三模）已知三个互不相等的正数a，b，c满足，，则（    ）A． B．C． D．35．（22·23·惠州·一模）若，则（    ）A． B．C． D．三、填空题36．（22·23·东莞·三模）已知定义在上的函数具备下列性质，①是偶函数，②在上单调递增，③对任意非零实数、都有，写出符合条件的函数的一个解析式（写一个即可）.37．（22·23·保定·二模）已知定义在上的函数满足：对于且，①，②.试写出满足以上两个条件的一个函数．38．（22·23·河南·三模）已知函数是上的奇函数，则实数．39．（22·23·南昌·三模）已知函数是偶函数，，则．40．（22·23·菏泽·三模）已知函数且过定点，且定点在直线上，则的最小值为．