保密★使用前泉州市2024届高中毕业班质量监测（三）2024.03高三数学本试卷共19题，满分150分，共8页。考试用时120分钟。一、选择题答案：1.B2.C3.C4．B5．C．6．D．7．A8．D二、选择题答案：9.AD10.BCD11.ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。1612．513.x24y14．e33四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15．（13分）如图，在三棱锥PABC中，PAPCABAC2，BC22，E为PC的中点，点F在PA上，且EF平面PAB，PMPB(R)．（1）若MF‖平面ABC，求；1（2）若，求平面PAB与平面MAC夹角的正弦值．2【命题意图】本题考查空间点、直线与平面间的位置关系等知识；考查推理论证、运算求解等能力；考查数形结合思想、化归与转化思想等；体现应用性、创新性、综合高三数学试题第1页（共8页）{#{QQABDY4QgggAAAAAAAhCAwVqCAKQkAEACAoGwFAMsAABCBFABAA=}#}性，导向对直观想象、数学运算等核心素养的关注.解法一：（1）依题意得,△PAC为正三角形，取PA中点N，连结CN，则CNPA，因为EF平面PAB，所以EFPA，EF∥CN，·················································································（2分）1又因为E为PC的中点，所以F为PN中点，则PFPA，·················（3分）4因为MF∥平面ABC，MF平面PAB，平面PAB平面ABCAB，即MF∥AB，······································（5分）11也即PMPB，.·······························································（6分）44（2）因为EF∥CN，则CN平面PAB，且CN3·························（7分）又因为EF平面PAB，所以EFAB，···········································（8分）由ABAC2,BC22可知BC2AB2AC2，则△ABC为等腰直角三角形，ABAC，又因为EF与AC相交于平面PAC，所以AB平面PAC，·················（10分）△PAB为等腰直角三角形，M为斜边PB中点，则△PAM也为等腰直角三角形，2取AM中点H，则NHAM，且NH，2连结CH，AM平面CNH，则AMCH，CHN为二面角PAMC的平面角，·····················（11分）114在Rt△CHN中，CHCN2NH2322高三数学试题第2页（共8页）{#{QQABDY4QgggAAAAAAAhCAwVqCAKQkAEACAoGwFAMsAABCBFABAA=}#}CN342sinCHN.则CH147····················································（13分）2解法二：（1）同解法一；（2）因为EF平面PAB，所以EFAB，······································（7分）由ABAC2,BC22可知BC2AB2AC2，则△ABC为等腰直角三角形，ABAC，取AC中点O，连结PO，则POAC，取BC中点Q，连结OQ，则OQ∥AB，又因为EF与AC相交于平面PAC，所以AB平面PAC，···················（9分）也即OQ平面PAC，所以OQ，OC，OP两两相互垂直，以O为原点，OQ，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.13133A(0,1,0)，B(2,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,3)，E(0,,)，F(0,,)，2244131333M(0,,)，AM(1,,)，AC(0,2,0)，EF(0,,)，······（10分）222244设平面MAC的一个法向量n(x,y,z)，则nAM0，nAC0，即13xyz0,22取z2，则x3，2y0.所以n(3,0,2)为平面MAC的一个法向量.···································（11分）3EFn7cosEF，n2，37EFn74142记平面PAB与平面MAC夹角为，sin1.····················（13分）77解法三：（1）因为EF平面PAB，所以EFAB，高三数学试题第3页（共8页）{#{QQABDY4QgggAAAAAAAhCAwVqCAKQkAEACAoGwFAMsAABCBFABAA=}#}由ABAC2,BC22可知BC2AB2AC2，则△ABC为等腰直角三角形，ABAC，△PAC为正三角形，取AC中点O，连结PO，则POAC，取BC中点Q，连结OQ，则OQ∥AB，又因为EF与AC相交于平面PAC，所以AB平面PAC，也即OQ平面PAC，··································（3分）所以OQ，OC，OP两两相互垂直，以O为原点，OQ，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.13A(0,1,0)，B(2,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,3)，E(0,,)，PA(0,1,3)，22··································································································（4分）因为MF∥平面ABC，MF平面PAB，平面PAB平面ABCAB，则MF∥AB，·····································（6分）因为PMPB，所以PFPA(0,,3)，F(0,,33)，13EF(0,,3)，EFPA410，221所以.················································································（9分）4补充说明：第一小题利用坐标法解答得9分，其中证明AB平面PAC得3分，请把这3分的分值写到第二小题的得分栏。131333（2）M(0,,)，AM(1,,)，AC(0,2,0)，EF(0,,),（10分）222244设平面MAC的一个法向量n(x,y,z)，则nAM0，nAC0，即高三数学试题第4页（共8页）{#{QQABDY4QgggAAAAAAAhCAwVqCAKQkAEACAoGwFAMsAABCBFABAA=}#}13xyz0,22取z2，则x3，2y0.所以n(3,0,2)为平面MAC的一个法向量.···································（11分）3EFn7cosEF，n2，37EFn74142记平面PAB与平面MAC夹角为，sin1.····················（13分）77解法四：(1)同解法一；(2)设点C在平面PAB的射影为N，则CN平面PAB，过点N做NHAM，垂足为H，连结CH，AM平面CNH，则AMCH，CHN为PAMC的平面角，因为EF平面PAB，所以EFAB，··············································（7分）由ABAC2,BC22可知BC2AB2AC2，则△ABC为等腰直角三角形，ABAC，△PAC为正三角形，取AC中点O，连结PO，则POAC，又因为EF与AC相交于平面PAC，所以AB平面PAC，···················（9分）ABPO，ABACA，PO平面ABC11因为VCPABVPACB，则S△PABCNS△ABCPO，所以CNPO3，（10分）33在△PBC中，PC2，BCBP22，高三数学试题第5页（共8页）{#{QQABDY4QgggAAAAAAAhCAwVqCAKQkAEACAoGwFAMsAABCBFABAA=}#}(22)2(22)2223cosPBC，222224CM2BM2BC22BMBCcosPBC4，CM2，······················（11分）在△MCA中，AM2，ACMC2，△MCA∽△PBC111714S△AMCHACMCsinACM22，CH，（12分）AMC22242CN342sinCHN.CH147·······················································（13分）216．（15分）淄博烧烤、哈尔滨冬日冰雪、山河四省梦幻联动、鄂了赣饭真湘……，2023年全国各地的文旅部门在网络上掀起了一波花式创意宣传，带火了各地的文旅市场，很好地推动国内旅游业的发展．已知某旅游景区在手机APP上推出游客竞答的问卷，题型为单项选择题，每题均有4个选项，其中有且只有一项是正确选项．对于游客甲，在知道答题涉及的内容的条件下，可选出唯一的正确选项；在不知道答题涉及的内容的条件下，则随机选择一个选项．已知甲知道答题涉及内容的题数占问卷总题数的1．3（1）求甲任选一题并答对的概率；（2）若问卷答题以题组形式呈现，每个题组由2道单项选择题构成，每道选择题答对得22分，答错扣1分，放弃作答得0分．假设对于任意一道题，甲选择作答的概率均为，且两3题是否选择作答及答题情况互不影响，记每组答题总得分为X．（i）求P(X4)和P(X2)；（ii）求E(X)．【命题意图】本小题主要考查全概率、独立事件、分布列、数学期望、等基础知识，考查运算求解、推理论证、数据处理能力，体现综合性、创新性、应用性，导向对发高三数学试题第6页（共8页）{#{QQABDY4QgggAAAAAAAhCAwVqCAKQkAEACAoGwFAMsAABCBFABAA=}#}展数学运算、逻辑推理、数据分析、数学建模等核心素养的关注．【试题简析】（1）记“甲任选一道题并答对”为事件M，“甲知道答题涉及内容”为事件A．········································································································1分121依题意，P(A)，P(A)，P(MA)1，P(MA)．·······················2分334因为事件MA与MA互斥，所以P(M)P(MAMA)P(MA)P(MA)（没说明互斥不扣分）分·········································································31P(MA)P(A)P(MA)P(A)．·······················（公式1分，结果1分）5分221211（2）（ⅰ）P(X4)．···················································7分3232921211P(X2)；··（本小题答对任意一个2分，答对两个3分）8分32329（ⅱ）依题