秘密★启用前威远中学校2024届高三下期第一次模拟数学（文史类）2024.2.26命题人：第四组 做题人：第四组 审题人：第四组数学试题共4页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合，，则的真子集的个数为（）A．9 B．8 C．7 D．62．已知复数z满足，则=（）A．-i B．i C．1 D．-13．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间4．若函数是定义在上的偶函数，则=（）A． B． C．5．下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A． B． C． D．6．已知向量，，则=（）A． B． C． D．7．已知正项等差数列的前n项和为，且，．则（）A． B． C． D．8．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系（为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）A．16小时 B．20小时 C．24小时 D．21小时9．设函数，（），若存在，，且，使得，则ω的取值范围是（）A． B． C． D．10．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，O为的外心，D为BC边上的中点，，，，则=（）A． B． C． D．11．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：，若圆D：上存在点P，由点P向圆C引一条切线，切点为M，且满足，则实数a的取值范围为（）A． B．C． D．12．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则下列4个结论中正确的有（）个．①；②B的取值范围为；③的取值范围为；④的最小值为A．0个 B．1个 C．2个 D．3个第Ⅱ（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．若双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为______．14．若x，y满足约束条件，则的最大值为______．15．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为______．16．已知，若函数有三个不同的零点，，（），则的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知等差数列的前n项和为，公差，且，，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前n项和；18．2023年12月25日，由科技日报社主办，部分两院院士和媒体人共同评选出的2023年国内十大科技新闻揭晓．某高校一学生社团随机调查了本校100名学生对这十大科技的了解情况，按照性别和了解情况分组，得到如下列联表：不太了解比较了解合计男生204060女生202040合计4060100（1）判断是否有95%的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异；（2）若把这100名学生按照性别进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，则这2人中至少有1人为女生的概率．附：①，其中；②当时有95%的把握认为两变量有关联．19．如图，四棱锥中，，，，平面ABCD⊥平面PAC．（1）证明：；（2）若，M是PA的中点，求三棱锥的体积．20．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点在C上，且的面积为．（1）求双曲线C的方程；（2）记点A在x轴上的射影为点B，过点B的直线l与C交于M，N两点．探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．21．设函数．（1）若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值；（2）若当时，恒有，求实数a的取值范围；注：22与23题为选做题，2选1，均为10分．22．在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数，），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线与的直角坐标方程；（2）当与有两个公共点时，求实数t的取值范围．23．已知函数．（1）求不等式的解集；（2）设函数的最小值为m，若，且，求证：高三下学期开学考文科数学参考答案一、选择题1—5：CCCDC6-10：BCCAC11-12：DB二、填空题13．/0.514．715．16．三、解答题17．（1）依题意得，解得，∴，即．（2），，，，所以．∴．18．（1）根据列联表中的数据，得，所以没有95%的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异（2）这100名学生中男生60人，女生40人，按照性别进行分层随机抽样，从中抽取5人，则抽取的男生有3人，女生有2人，设男生为，，；女生为，．则从这5人中选出2人的组合有，，，，，，，，，共10种，其中至少有1人为女生的组合有，，，，，，共7种，故所求概率为19．（1）取BC中点N，连接AN，则，又，，所以四边形ANCD为正方形，则，，又在中，，则，所以，，即．又平面ABCD⊥平面PAC，平面平面，平面ABCD，所以AB⊥平面PAC，又PC⊂面PAC，所以．（2）连接DN，交AC于O，连接OP，因为AB⊥平面PAC，PO⊂平面PAC，所以由于，，又因为，O为AC的中点，所以，又因为平面ABCD，平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD所以，，又因为M为PA中点，所以20．（1）设双曲线的焦距为，由题意得，，解得故双曲线C的方程为．（2）由题意得，，当直线MN的斜率为零时，则．当直线MN的斜率不为零时，设直线MN的方程为，点，，联立，整理得，则，解得且，所以，，所以．综上，，为定值21．（1）因为，则，则，，即切点坐标为，斜率，由题意可得：，解得，（2）令，则，由题意可知：当时，恒有，且，则，解得，若，则有：①当时，因为，可知，令，因为，在内单调递增，可得在内单调递增，则，即，符合题意；②当时，则在内恒成立，符合题意；③当时，令，则，因为，则，，可知在内恒成立，则在内单调递增，可得，则在内单调递增，可得，符合题意；综上所述：实数a的取值范围为22．（1）∵曲线的参数方程为（α为参数，），∴曲线的普通方程为：∵曲线的极坐标方程为，∴曲线的直角坐标方程为．（2）∵曲线的普通方程为：为半圆弧，由曲线于有两个公共点，则当与相切时，得，整理得，∴或（舍去），当过点时，，所以．∴当与有两个公共点时，．23．（1）不等式可化为或，由，可得，解得或；由，可得，解得，所以不等式的解集为．（2）由题意，知，当时，，因在上单调递减，则；当时，，因在上单调递增，在上单调递减，故在无最小值，但是；当时，，因在上单调递增，则．综上，当时，函数取得最小值2，即，所以，因，，所以，当且仅当，时等号成立，故．