绝密★启用前2024年高考考前信息必刷卷（新高考新题型）03数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）2023年的对于三视图的考察也将近有尾声，留意的是立体几何中对圆锥的考察（侧面积的计算也会成一个热点）。其他的题目难度变化不大，但侧重于考察学生运算能力与分析能力。应特别注意新高考函数位于第一大题的位置，其难度有所下降，函数中多研究含参讨论单调性及恒成立存在问题，新高考概率位于第二大题的位置，概率中多研究条件概率、古典概率问题，同时注重圆锥曲线常规联立及二级结论（推导）第I卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．已知学生的数学和地理成绩具有线性相关关系，高三某次模考中，5名学生的数学和地理成绩如下表：学生的编号i12345数学成绩x100105908580地理成绩y75■686462现已知其线性回归方程为，则“■”代表该生的地理成绩为（    ）A．76 B．74.85 C．73 D．72.5【答案】A【解析】，所以■．故选：A2．已知点是的重心，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】设的中点为D，连接，点是的重心，则P在上，且，由此可知A，B，C错误，D正确，故选：D3．在等比数列中，，则（    ）A．-4 B．8 C．-16 D．16【答案】C【解析】设等比数列的公比为，则，即，.故选:C.4．下列说法中正确的是（   ）A．没有公共点的两条直线是异面直线B．若两条直线a，b与平面α所成的角相等，则C．若平面α，β，γ满足，，则D．已知a，b是不同的直线，α，β是不同的平面.若，，，则【答案】D【解析】对A，没有公共点的两条直线是异面直线或平行直线，故A错误；对B，若两条直线a，b与平面α所成的角相等，则a，b可以平行、相交或异面，故B错误；对C，若平面α，β，γ满足，，则α，γ不一定垂直，故C错误；对D，两个平面垂直等价于这两个平面的垂线垂直，故D正确.故选：D.5．一支由12人组成的登山队准备向一座海拔5888米的山峰攀登，这12人中姓赵、钱、孙、李、周、吴的各有2人．现准备从这12人中随机挑选4人组成先遣队，如果这4人中恰有2人同姓，则不同的挑选方法的种数为（    ）A．480 B．270 C．240 D．60【答案】C【解析】方法一：先在12人中挑选同姓的2人，方法有（种），然后在剩余的10人中，挑选不是同姓的2人，方法有（种），所以不同的挑选方法的种数是.方法二：先在12人中挑选同姓的2人，方法有（种），然后在剩余的10人中，挑选不是同姓的2人，方法有（种），所以不同的挑选方法的种数是.故选；C6．已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于函数，定义域为R，满足，得是奇函数，且在R上为减函数.在上恒成立，在上恒成立，在上恒成立，在上恒成立.令，则，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，，即a的取值范围为，故选：D.7．已知，则的值为（    ）A． B．1 C．4 D．【答案】C【解析】在中，而，由二项式定理知展开式的通项为，令，解得，令，，故，同理令，解得，令，解得，故，故.故选：C8．已知分别是椭圆的左、右焦点，过点作x轴的垂线与椭圆C在第一象限的交点为P，若的平分线经过椭圆C的下顶点，则椭圆C的离心率的平方为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】  设，将代入椭圆方程，易得，则．记椭圆C的下顶点为，则的斜率，∴直线的方程为，令得直线与x轴的交点为，则，又，，即，，得（舍去负值），．故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．用“五点法”作函数（，，）在一个周期内的图象时，列表计算了部分数据，下列有关函数描述正确的是（    ）0xabc131d1A．函数的最小正周期是B．函数的图象关于点对称C．函数的图象关于直线对称D．函数与表示同一函数【答案】ACD【解析】根据表格可知，且，则，由正弦函数的周期性可知的最小正周期为，故A正确；由已知结合正弦函数的对称性可知：，显然此时取得最小值，所以的图象不关于点对称，故B错误；由已知结合正弦函数的对称性可知：，此时取得最大值，所以的图象关于直线对称，故C正确；由诱导公式可知，故D正确.故选：ACD10．若复数，则（   ）A．的共轭复数 B．C．复数的虚部为D．复数在复平面内对应的点在第四象限【答案】ABD【解析】，则，故正确；，故正确；复数的虚部为，故错误；复数在复平面内对应的点为，在第四象限，故正确.故选：ABD11．已知函数与其导函数的定义域均为，且和都是奇函数，且，则下列说法正确的有（    ）A．关于对称 B．关于对称C．是周期函数 D．【答案】ACD【解析】因为为奇函数，所以，所以，即，所以的图象关于直线对称.故A正确；因为为奇函数，则其图象关于对称，向左平移一个单位后得到的图象，则的图象关于对称，故B错误；因为为奇函数，则，则有，所以①,又，则②,由①②，则，则，，则，所以8是函数的一个周期.，是周期函数，故C正确；因为，，所以，，所以，故D正确，故选：ACD.第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知集合与集合，求集合【答案】【解析】由题意，，所以.故答案为：.13．已知抛物线的焦点为，第一象限的、两点在抛物线上，且满足，.若线段中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为.【答案】【解析】设，因为，所以，所以，又因为，所以，因为都在第一象限，所以，又因为且，所以，所以，所以抛物线方程为，故答案为：.14．如图，在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点，则下列结论正确的序号是．  ①棱上一定存在点，使得；②三棱锥的外接球的表面积为；③过点作正方体的截面，则截面面积为；④设点在平面内，且平面，则与所成角的余弦值的最大值为．【答案】②③④【解析】对于①，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，则由已知，，，设棱上一点，则，，若，则，整理得，即，无实数解，∴棱上不存在点，使得，故①错误；对于②，如图，分别取棱，，，的中点，，，，由已知，，易知棱柱为长方体，其外接球的直径为，外接球表面积，∵三棱锥的顶点均在长方体的外接球上，故该球也是三棱锥的外接球，∴三棱锥的外接球的表面积为，故②正确；对于③，如图所示，过点作正方体的截面是边长为的正六边形，其可分成六个全等的，边长为的等边三角形，面积，故③正确；对于④，由①中所建立空间直角坐标系，，，，，，，，设平面的一个法向量为，则，令，则，，∴，设平面内一点，则，∵平面，∴，即，又∵，∴与所成角的余弦值为，其中，，∴，即当且仅当时，与所成角的余弦值的最大值为，故④正确.故答案为：②③④.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数在时取得极值．(1)求实数的值；(2)若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】（1）易知，依题意，解得，此时，当或时，；当时，，即函数在，上单调递增，在上单调递减，因此函数在时取得极值，所以．（2）由（1）得函数在上单调递减，在上单调递增；所以，由题意可得，解得，所以的取值范围为．16．（15分）2023年12月11日至12日中央经济工作会议在北京举行，会议再次强调要提振新能源汽车消费.发展新能源汽车是我国从“汽车大国”迈向“汽车强国”的必由之路.我国某地一座新能源汽车工厂对线下的成品车要经过多项检测，检测合格后方可销售，其中关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测试，测试的结果只有三种等次：优秀、良好、合格，优秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，该型号新能源汽车在碰撞测试中结果为优秀的概率为，良好的概率为；在续航测试中结果为优秀的概率为，良好的概率为，两项测试相互独立，互不影响，该型号新能源汽车两项测试得分之和记为.(1)求该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率；(2)求离散型随机变量的分布列与期望.【答案】(1)(2)分布列见解析，数学期望为【解析】（1）记事件为“该型号新能源汽车参加碰撞测试的得分为分”，则，，.记事件为“该型号新能源汽车参加续航测试的得分为分”，则，，.记事件为“该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格”，则，则该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率为.（2）由题知离散型随机变量的所有可能取值分别为2，4，6，8，10，，，，，，则离散型随机变量的分布列为246810所以数学期望.17．（15分）如图，直四棱柱的底面为平行四边形，分别为的中点.(1)证明：平面；(2)若底面为矩形，，异面直线与所成角的余弦值为，求到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2).【解析】（1）连接，交于点，连接，  则为的中点，因为为的中点，所以，且，因为为的中点，所以，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面平面，所以平面.（2）由题意（1）及几何知识得，在直四棱柱中，，两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系.  设，则，，.设异面直线与所成角为，则，解得：，故，则设平面的一个法向量为，到平面的距离为.所以即取，得.所以，即到平面的距离为.18．（17分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，过点的两条直线，分别与椭圆交于另一点A，B，且直线，，的斜率满足．(1)求椭圆的方程；(2)证明直线过定点；(3)椭圆C的焦点分别为，，求凸四边形面积的取值范围．【答案】(1)(2)证明见解析(3)【解析】（1）由题设得，解得，所以的方程为；（2）由题意可设，设，，由，整理得，．由韦达定理得，，由得，即，整理得，因为，得，解得或，时，直线过定点，不合题意，舍去；时，满足，所以直线过定点．（3））由（2）得直线，所以，由，整理得，，由题意得，因为，所以，所以，令，，所以，在上单调递减，所以的范围是．    19．（17分）已知，，…，是由（）个整数，，…，按任意次序排列而成的数列，数列满足（）.（1）当时，写出数列和，使得.（2）证明：当为正偶数时，不存在满足（）的数列.（3）若，，…，是，，…，按从大到小的顺序排列而成的数列，写出（），并用含的式子表示.（参考：.）【答案】（1），，；，，或，，；，，.（2）证明见解析（3）（）；【解析】[解]（1），，；，，.，，；，，.[证明]（2）若（），则有，于是.当为正偶数时，为大于1的正奇数，故不为正整数.因为，，…，均为正整数，所以不存在满足（）的数列.[解]（3）（）.因为，于是.