重庆市第八中学2024届高考适应性月考卷（五）数学注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时120分钟.一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.样本数据的上四分位数为（）A.45B.46.5C.47D.502.若双曲线的离心率为，则该双曲线的虚轴长为（）A.B.5C.D.103.把能表示为两个连续奇数的平方差的正整数称为“幸运数”，则在，2024这2024个数中，能称为“幸运数”的个数是（）A.251B.252C.253D.2544.如图，在四面体中，，点为的中点，，则（）A.B.C.D.5.某班一天上午有五节课，下午有两节课，现要安排该班一天中语文､数学､物理､英语､地理､体育､艺术7堂课的课程表，要求艺术课排在上午第5节，体育课排在下午，数学与物理不相邻，则不同的排法种数是（）A.128B.148C.168D.1886.若过点可以作曲线的两条切线，则（）A.B.C.D.7.已知，则（）A.B.C.D.8.已知抛物线的焦点为，抛物线的准线与轴相交于点.过点作直线与抛物线相交于两点，连接，设直线与轴分别相交于两点，若的斜率与的斜率的乘积为-3，则的大小等于（）A.B.C.D.二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.如图，在海面上有两个观测点在的正北方向，距离为，在某天10：00观察到某航船在处，此时测得分钟后该船行驶至处，此时测得，则（）A.观测点位于处的北偏东方向B.当天10：00时，该船到观测点的距离为C.当船行驶至处时，该船到观测点的距离为D.该船在由行驶至的这内行驶了10.设复数对应的向量分别为（为坐标原点），则（）A.B.若，则C.若且，则D.若，则的最大值为.11.定义域为的连续函数，对任意，且不恒为0，则下列说法正确的是（）A.为偶函数B.C.若，则D.若0为的极小值点，则的最小值为1三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.设集合，则__________.13.如图所示，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个含的Rt，将剩余部分绕着直径所在直线旋转得到一个几何体，该几何体的表面积为__________.14.对任意的正实数，满足，则的最小值为__________.四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）记曲线在处的切线为，求证：与有且仅有1个公共点.16.（本小题满分15分）甲､乙两选手进行象棋比赛，设各局比赛的结果相互独立，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为.（1）若采用5局3胜制比采用3局2胜制对甲更有利，求的取值范围；（2）若，已知甲乙进行了局比赛且甲胜了13局，试给出的估计值（表示局比赛中甲胜的局数，以使得最大的的值作为的估计值）.17.（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为正方形，平面平面，点是棱的中点，平面与棱交于点.（1）求证：平面；（2）为平面内一动点，为线段上一点；①求证：；②当最小时，求的值.18.（本小题满分17分）在平面直角坐标系中，椭圆，圆为圆上任意一点.（1）过作椭圆的两条切线，当与坐标轴不垂直时，记两切线斜率分别为，求的值；（2）动点满足，设点的轨迹为曲线.（i）求曲线的方程；（ii）过点作曲线的两条切线分别交椭圆于，判断直线与曲线的位置关系，并说明理由.19.（本小题满分17分）已知数列的前项和为，且满足.（1）证明：.（2）当时，求证：；（3）是否存在常数，使得为等比数列？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由.参考答案1-8DCCBCAAA9.ACD10.ACD11.ABD12.13.14.15.（1）解：，令，得今，得或，则在上单调递增，在上单调递减.（2）证明：，所以曲线在处的切线的方程为：；令，令，当时，，当时，，所以在上单调递增，单调递减，，综上，有唯一零点0，即与有且仅有一个公共点.16.解：（1）采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分或.因为每局比赛的结果是独立的，可得甲最终获胜的概率为.采用3局2胜制，甲最终获胜有两种可能的比分或，可得甲最终获胜的概率为.因为5局3胜制对甲有制，所以，，，.（2）易得，记，则，由，得，即，故时，最大，所以的估计值为21.17.（1）证明：平面平面平面，又平面，平面平面.又平面平面，平面（2）解：①由平面平面平面平面，故平面，所以，由（1），，故，又是棱的中点，则为棱中点，为正三角形，故，所以平面，故.②又有，当为与平面的交点时，，故当最小时，取得最小值，此时，由，数，同理，故时，为中点，取中点，连接，如图，则有且，有，18.解：（1）设直线方程的统一形式设为：，联立，由切线有（再按整理方程），即，所以是（*）的两个很，故.（2）（i）设，由，将代入圆有：，即曲线的方程为：（ii）直线与曲线相切.理由如下：由题意可知直线斜率和均存在，如图，设过且与因相切的直线方程：，即则曲线的圆心到该真线的距离，即，故；联立，可得：，即，则方程异于的实数解为，由可得，，可得，设，则直.线的斜率，故直线的方程为：，即，则曲线的圆心到的距离，故真线与曲线相切.19.（1）证明：当时，此时，从而，数.（2）证明：法一：由题意有，从而当时，，解得；当时，，即，，从而，从而，累加可得，又，故，故当时，.又，故.法二：由题意有，从而当时，，解得；当时，，两式相减可得，从而，累加可得，从而.又即时，.又，故.（3）解：若存在实数，使得为等比数列，不妨设其公比为.则即，可得，又，可得，从而，整理得对任意均成立，即对任意均成立，故或.当时，，舍去：当时，，特别地，，解得（舍去）或.当时，，特合题意.故存在实数，使得是公比为-1的等比数列.