第一章集合和命题1.集合及其表示法能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合，简称集；集合中的各个对象叫做这个集合的元素；集合的元素具有确定性、互异性和无序性；集合常用大写字母ABC、、…表示，集合中的元素用小写字母a、b、c…表示；如果a是集合A的元素，就记作aA，读作“a属于A”；如果a不是集合A的元素，就记作aA，读作“a不属于A”；数的集合简称数集；全体自然数组成的集合，即自然数集，记作Ν，不包括零的自然数组成的集合，记作Ν*；全体整数组成的集合即整数集，记作Z；全体有理数组成的集合即有理数集，记作Q；全体实数组成的集合即实数集，记作R；另外正整数集、负整数集、正有理数集、负有理数集、正实数集、负实数集分别表示为ZZQQRR、、、、、；点的集合简称点集，即以直角坐标平面内的点作为元素构成的集合；含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集；规定空集不含元素，记作；集合的表示方法常用列举法和描述法；将集合中的元素一一列出来，并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法；在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即A={x|x满足性质p}，这种表示集合的方法叫做描述法2.集合之间的关系对于两个集合A和B，如果集合A中任何一个元素都属于集合B，那么集合A叫做集合B的子集，记作AB或BA，读作“A包含于B”或“B包含A”；空集包含于任何一个集合，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；所以若AB，不要遗漏A的情况；对于一个含有n个元素的集合P，它的子集个数为2n，真子集个数为2n1，非空子集个数为2n1，非空真子集的个数为2n2；用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，所用图叫做文氏图；对于两个集合A和B，如果AB且BA，那么叫做集合A与集合B相等，记作AB，读作“集合A等于集合B”，因此，如果两个集合所含的元素完全相等，那么这两个集合相等；对于两个集合A和B，如果AB，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作AB或BA，读作“A真包含于B”或“B真包含A”；对于数集NZQR、、、来说，有NZQR；3.集合的运算一般地，由集合A和集合B的所有公共元素组成的集合叫做A与B的交集，记作AB，读作“A交B”，即ABxxA且xB；由所有属于集合A或者属于集合B的元素组成的集合叫做集合A、B的并集，记作AB，读作“A并B”，即ABxxA或xB；在研究集合与集合之间的关系时，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个确定的集合叫做全集，常用符合U表示；即全集含有我们所要研究的各个集合的全部元素；设U为全集，A是U的子集，则由U中所有不属于A的元素组成的集合叫做集合A在全集U中的补集，记作CAU，读作“A补”，即CUAxxU,xA；德摩根定律：CABCACBU()UU；CABCACBU()UU；容斥原理：用|A|表示集合A的元素个数，则|ABABAB|||||||；|ABCABCABBCCAABC|||||||||||||||；4.命题可以判断真假的语句叫做命题，命题通常用陈述句表述，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题；如果命题成立可以推出命题也成立，那么就说由可以推出，记作，读作“推出”，换言之，表示以为条件、为结论的命题是真命题；如果，并且，那么记作，叫做与等价；推出关系满足传递性：，，那么；一个数学命题用条件，结论表示就是“如果，那么”，如果把结论和条件互相交换，就得到一个新命题“如果，那么”，这个命题叫做原命题的逆命题；一个命题的条件与结论分别是另一个命题的条件的否定与结论的否定，我们把这样两个命题叫做互否命题，如果其中一个叫原命题，那么另一个命题就叫做原命题的否命题；如果把、的否定分别记作、，那么命题“如果，那么”的否命题就是“如果，那么”；如果把原命题“如果，那么”结论的否定作条件，把条件的否定作结论，那么就可得到一个新命题，我们把它叫做原命题的逆否命题，即“如果，那么”；如果A、B是两个命题，AB，BA，那么A、B叫做等价命题；原命题与逆否命题是等价命题；不含逻辑联结词的命题叫做简单命题，由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题；复合命题有三类：p或q，p且q，非p；pq非pp或qp且q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假一些常用结论的否定形式：原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有n个至多有n1个小于不小于至多有n个至少有n1个p或q非p且非q对所有x成立存在某个x不成立p且q非p或非q对任何x不成立存在某个x成立5.充要条件一般地，用、分别表示两个命题，如果命题成立，可以推出也成立，即，那么叫做的充分条件，叫做的必要条件；一般地，用、分别表示两个命题，如果既有，又有，即，那么既是的充分条件，又是的必要条件，这时我们就说，是的充分必要条件，简称充要条件；设具有性质p的对象组成集合A，具有性质q的对象组成集合B，则①若AB，则p是q的充分条件；②若AB，则p是q的充分非必要条件；③若AB，则p是q的必要条件；④若AB，则p是q的必要非充分条件；⑤若AB，则p,q互为充要条件；等价关系：“pq”“AB”“ABA”“ABB”“CBCAUU”“ACBU”“CABUU”（注意考虑A的情况）；第二章不等式1.不等式的基本性质性质1如果ab,bc，那么ac；性质2如果ab，那么acbc；性质3如果ab，c0，那么acbc；如果ab，c0，那么acbc；性质4如果ab,cd，那么acbd；性质5如果ab0,cd0，那么acbd；11性质6如果ab0，那么0；ab性质7如果ab0，那么anbn(nN*)；性质8如果ab0，那么nanb(nN*,n1)；2.不等式的解法（1）一元二次不等式对于一个整式不等式，它只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次，这样的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0（a≠0）；一般地，设一元二次不等式为ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0（a>0），当对应的一元22二次方程ax+bx+c=0的根的判别式=∆b−4ac>0时，先求出方程22axbxc0的两个实数根x1,x2（不妨设x1x2），于是不等式axbxc0的解集2为{x|xx1或xx2}，不等式axbxc0的解集为{x|x1xx2}；不等式的解集经常用区间来表示，设a,b都为实数，并且ab，我们规定：①集合{x|axb}叫做闭区间，表示为[,]ab；②集合{x|axb}叫做开区间，表示为(,)ab；③集合{x|axb}或{x|axb}叫做半开半闭区间，分别表示为[,)ab或(,]ab；④实数集R表示为(,)，集合{x|xa}、{x|xa}、{x|xb}和{x|xb}分别用区间[)a、()a、(,]b和(,)b表示；a与b也叫做区间的端点，“”读作“正无穷大”，“”读作“负无穷大”；前面讨论的是判别式0的情形，当0时，抛物线yax2bxc(a0)与x轴没有交点，整个图像都在x轴的上方，于是不等式ax2bxc0的解集为实数集R，不等式ax2bxc0的解集为空集；b当0时，抛物线yax2bxc(a0)与x轴两个交点重合，即xx，122a除了这一个点外，抛物线的其余部分都在x轴的上方，于是不等式ax2bxc0的解集bb为(,)(,)，不等式ax2bxc0的解集为空集；2a2a（2）高次不等式高次不等式常用“数轴标根法”来解，其步骤是：①等价变形后的不等式一边是零，一边是各因式的积；（未知数系数一定是正数）②把各因式的根标在数轴上；③从右上角起，用曲线穿根（奇次根穿透，偶次根不穿透），看图像写出解集；如图：(xx1)(xx2)(xx3)0（假设x1x2x3）的解为x[,][,)x1x2x3；（3）分式不等式f()xf()x型如0（或0）或0（或0）（其中f()x、()x为整式且(x)0）()x()x的不等式称为分式不等式；解分式不等式的关键是转化为整式不等式；f()xf()x0f(x)(x)0，0f(x)(x)0；()x()xf()x0（或0）f(x)(x)0（或0）且(x)0；()x（4）含绝对值不等式|x|表示实数x在数轴上所对应的点到原点的距离；所以，不等式|x|a(a0)的解集为(,)aa，类似地，不等式|x|a(a0)的解集为(,)(,)aa；解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值，一般有如下方法：①定义法；②零点分段法；③平方法；④数形结合法；绝对值不等式的性质：|a||b||ab||a||b|（5）无理不等式只含有一个未知数，并且未知数在根号中的不等式叫做无理不等式；解无理不等式，关键是转化为有理不等式；fx()gx()fx()0,()0,()gxfxgx()；fxgx()()fx()0,()gx0,()[()]fxgx2或f(x)0,g(x)0；（6）指数对数不等式解指数对数不等式的关键是化成相同的底数，然后同时去掉底数；①当a1时，af()()xagxf()()xgx，logaf(x)logag(x)f(x)g(x)0；②当0a1时，af()()xagxf()()xgx，logaf(x)logag(x)0f(x)g(x)3.基本不等式基本不等式1对任意实数a和b，有a2b22ab，当且仅当ab时等号成立；ab基本不等式2对任意正数a和b，有ab，当且仅当ab时等号成立；2推论1若a,,bcR，则a3b3c33abc，当且仅当abc时等号成立；abc推论2若a,,bcR，则3abc，当且仅当abc时等号成立；3aa…a推论312nnaa…a，nNR*,a,1in；n12nia2b2ab2均值不等式ab，a,bR；1122ab柯西不等式(a2b2)(c2d2)(acbd)2；注意：一正二定三相等；和定积最大，积定和最小；4.不等式的证明（1）比较法要证明ab，只要证明ab0，同样，要证明ab，只要证明ab0，这种证明不等式的方法叫做比较法；用比较法证明不等式的一般步骤是：先作出要求证的不等式两边的差，通过对这个差的变形，确定其值是正的还是负的，从而证明不等式成立；（2）分析法从要求证的结论出发，经过适当的变形，分析出使这个结论成立的条件，把证明结论转化为判定这些条件是否成立的问题，如果能够判定这些条件都成立，那么就可以断定原结论成立，这种证明方法叫做分析法；（3）综合法从已知条件出发，利用各种已知的命题和运算性质作为依据，推导出要求证的结论，这种方法叫做综合法；（4）放缩法在证明过程中，根据不等式传递性，常采用舍去（或添加）一些项而使不等式的各项之和变小（或变大），或把某些项换成较大（或较小）的数，或在分式中扩大（或缩小）分式的分子（或分母），从而达到证明的目的，这种证明不等式的方法叫做放缩法；（5）换元法根据证明需要进行一些等量代换，选择适当的辅助参数简化问题的一种方法；（6）判别式法根据证明需要，通过构造一元二次方程，利用关于某一变量的二次三