高三年级开学检测———数学答案与解析１．Ｃ ２．Ａ３．Ｃ 【解析】△犃犅犆为等边三角形（法一）由题意，→２→１→→１→２→犃犕＝犃犅＋犃犆 犃犖＝犃犅＋犃犆３３３３→→２→５→→２→５１３∴犃犕·犃犖＝犃犅２＋犃犅·犃犆＋犃犆２＝２＋＋２＝９９９２２（法二）以犅犆所在直线为狓轴，以犅犆垂直平分线犃犇为狔轴建立如图所示的平面直角坐标系，３槡３１１则犃（０，） 犕（－，０） 犖（，０）２２２→→１３３１３３１２７１３犃犕·犃犖＝（－，－槡）·（，－槡）＝－＋＝２２２２４４２（法三）取犕犖中点为犇∵犕犖为犅犆边的三等分点→→→→→→→→２７１１３∴犃犕·犃犖＝（犃犇＋犇犕）·（犃犇＋犇犖）＝犃犇２－犇犕２＝－＝４４２４．Ａ ５．Ｃ６．Ｂ 【解析】狓狔＋狔≥２槡狓狔２，狓狔＋狔＝８，２槡狓狔２≤８，当且仅当狓狔＝狔时，等号成立，得狓＝１，狔＝４．则槡狓狔≤４，ｌｏｇ４狓＋ｌｏｇ２狔＝ｌｏｇ２槡狓狔≤ｌｏｇ２４＝２．２槡２犮１２２２２２２２７．Ｄ 【解析】∵＜犲＜１，∴＞，２犮＞犪，即２犮＞犫＋犮，犮＞犫，２犪２２∴以犉１犉２为直径作圆与犆必有四个不同的交点，∴△犕犉１犉２中∠犉１犕犉２＝９０°的三角形有四个，且∠犕犉１犉２为直角，∠犕犉２犉１为直角的各有两个，存在使△犕犉１犉２为直角三角形的点犕有８个．１槡３２槡３１槡３１＋ｃｏｓ２狓槡３８．Ｄ 【解析】犳（狓）＝ｓｉｎ狓ｃｏｓ狓－ｃｏｓ狓＋＝ｓｉｎ２狓－＋２２４４２２４１３１π＝ｓｉｎ２狓－槡ｃｏｓ２狓＝ｓｉｎ（２狓－）４４２３１犳（狓）＝在（０，π）有两根狓１，狓２，３ππ５π则０＜狓＜π时，－＜２狓－＜３３３ππ２ｓｉｎ（２狓１－）＝ｓｉｎ（２狓２－）＝３３３πππ∴不妨设０＜２狓１－＜＜２狓２－＜π，３２３ππ５π５π则２狓１－＋２狓２－＝π，狓１＋狓２＝，狓２＝－狓１３３６６５π５ππππ２ｃｏｓ（狓１－狓２）＝ｃｏｓ［狓１－（－狓１）］＝ｃｏｓ（２狓１－）＝ｃｏｓ（２狓１－－）＝ｓｉｎ（２狓１－）＝６６３２３３【·高三开学检测———数学答案 第１页（共８页）】{#{QQABYYQUogAoABBAARgCEQGgCEAQkBACAAgGhAAIIAABiRFABAA=}书９．ＡＢ１０．ＢＣＤ１１．ＢＤ 【解析】∵犳（狓）－犳（狓－１）＝犳（狓＋１） ①∴犳（狓）＝犳（狓－１）＋犳（狓＋１），则犳（狓＋１）＝犳（狓）＋犳（狓＋２） ②由①②得，－犳（狓－１）＝犳（狓＋２），即犳（狓）＝－犳（狓＋３） ③∴犳（狓＋３）＝－犳（狓＋６），犳（狓）＝犳（狓＋６） ④犳（狓）周期为６，由犳（狓－２）＋犳（２－狓）＝０，得犳（狓）为奇函数 ⑤犳（０）＝０犳（狓）＝－犳（狓＋３）３由③⑤得，犳（狓＋３）＝犳（－狓），∴犳（狓）关于狓＝对称，犳（狓）＝－犳（－狓）２犳（狓）＝犳（狓＋６）由④⑤得，犳（狓＋６）＋犳（－狓）＝０，∴犳（狓）关于（３，０）对称，犳（狓）＝－犳（－狓）故ＢＤ正确．槡２１２．ＢＣＤ 【解析】∵动点犖到（０，２）距离为｜犖犉｜２２２槡２２２设犖点为（狓，狔），则狓＋（狔－２）＝狓＋（狔－１）槡２槡整理得，狓２＋狔２－６狔＋７＝０，即狓２＋（狔－３）２＝２∴犖点的轨迹是以（０，３）为圆心，槡２为半径的圆，设犕点为（狓，狔），则犕点到（０，３）距离犱＝槡狓２＋（狔－３）２＝槡狓２＋狔２－６狔＋９＝槡狔２－２狔＋９∴狔＝１时，犱最小为２槡２，∴｜犕犖｜最小值为２槡２－槡２＝槡２，故犃错误．∵犉点为（１，０），∴｜犖犉｜最小为２－槡２，｜犕犉｜最小值为１，∴｜犕犉｜＋｜犖犉｜最小为３－槡２，故犅正确．｜犕犉｜等于点犕到直线狔＝－１的距离，∴｜犕犖｜＋｜犕犉｜最小值为（０，３）到直线狔＝－１的距离减去槡２，即４－槡２，故犆正确．槡２∵犖到（０，２）的距离为｜犖犉｜２槡２∴｜犖犉｜＋｜犕犖｜最小值为犖到（０，２）的距离与｜犕犖｜和的最小值，２即犕到（０，２）的距离最小值，设犕为（狓，狔）则犕到（０，２）距离为槡狓２＋（狔－２）２＝槡狓２＋狔２－４狔＋４＝槡狔２＋４当狔＝０时，槡狔２＋４最小值为２，槡２∴｜犖犉｜＋｜犕犖｜最小值为２，２得｜犖犉｜＋槡２｜犕犖｜最小值为２槡２，故Ｄ正确．【·高三开学检测———数学答案 第２页（共８页）】{#{QQABYYQUogAoABBAARgCEQGgCEAQkBACAAgGhAAIIAABiRFABAA=}１３．２９ １４．－１狀－１１５．１０２５ 犛狀＝３＋１【解析】由数阵形成规律，设第狀行数据有犪狀个，则犪狀＝犪狀－１＋犪狀－１－１＝２犪狀－１－１（狀≥２）则犪狀－１＝２（犪狀－１－１）｛犪狀－１｝是以１为首项，２为公比的等比数列．狀－１狀－１则犪狀－１＝２，犪狀＝２＋１∴犪１１＝１０２５设第狀行数据的和为犛狀第狀－１行数据为１，狓１，狓２，狓３，…，狓犿，１则第狀行数据为１，１＋狓１，狓１，狓１＋狓２，狓２，狓２＋狓３，狓３，…，狓犿，狓犿＋１，１∴犛狀＝３犛狀－１－２（狀≥３）∴犛狀－１＝３（犛狀－１－１）得｛犛狀－１｝从第二项起，是以犛２－１＝３为第二项，以３为公比的等比数列狀－２狀－１∴犛狀－１＝３·３＝３（狀≥２）狀－１犛狀＝３＋１（狀≥２）狀＝１时，犛１＝２狀－１∴犛狀＝３＋１１６．４１π 【解析】三棱锥底面为直角三角形，犗为△犃犅犆内心，∵犃犅＝４，犅犆＝３４＋３－５∴△犃犅犆内切圆半径狉＝＝１２设四面体犘犃犅犆外接球球心为犗′，５则犗′在平面犃犅犆射影为犃犆中点犙，且犗犙＝槡，设犗′犘＝犗′犆＝犚２则犗′犙２＋犙犆２＝犚２５（５－犚２－犗犙２）２＋（）２＝犚２槡２５２５（５－犚２－）２＋＝犚２槡４４４１解得犚２＝４则四面体犘犃犅犆的外接球表面积为４１π．１７．解：（１）收视时间在０～１０分钟组的频率为１－（０．０１８＋０．０２２＋０．０２５＋０．０２０＋０．００５）×１０＝０．１０．１∴狆＝＝０．０１!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!２分１０又∵收视时间低于１０分钟的有１０人．１０∴２狀＝０．１∴狀＝５０!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!５分（２）∵狀＝５０∴“热心观众”有２×５０×（０．０２０＋０．００５）×１０＝２５人【·高三开学检测———数学答案 第３页（共８页）】{#{QQABYYQUogAoABBAARgCEQGgCEAQkBACAAgGhAAIIAABiRFABAA=}则２×２列联表如下图所示：非热心观众热心观众总计男３５１５５０女４０１０５０总计７５２５１００!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!７分零假设犎０：“热心观众”与性别无关联．将２×２列联表数据代入公式计算得：１００×（３５×１０－４０×１５）２２＝≈１．３３３＜３．８４１!!!!!!!!!!!!!!!!９分χ５０×５０×７５×２５根据小概率值α＝０．０５的独立性检验，没有充分证据证明犎０不成立，因此可认为犎０成立，即认为“热心观众”与性别无关联．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１０分１８．解：（１）∵｛犛狀＋２｝是首项为４，公比为２的等比数列．狀－１狀＋１∴犛狀＋２＝４·２＝２狀＋１∴犛狀＝２－２!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!２分狀当狀≥２时，犛狀－１＝２－２狀＋１狀狀∴犪”＝犛狀－犛狀－１＝（２－２）－（２－２）＝２!!!!!!!!!!!!!!!!!４分又∵犪１＝犛１＝２狀∴犪狀＝２（狀∈犖）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!５分狀＋１犪狀＋１２１１（２）＝狀＋１狀＋２＝狀＋１－狀＋２!!!!!!!!!!!!６分犛狀·犛狀＋１（２－２）（２－２）２－２２－２犪２犪３犪狀＋１∴犜狀＝＋＋…＋犛１犛２犛２犛３犛狀犛狀＋１１１１１１１＝－＋－＋…＋－２２－２２３－２２３－２２４－２２狀＋１－２２狀＋２－２１１＝－!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１０分２２狀＋２－２１１１∵狀∈犖，２狀＋２－２＞０，∴－＜２２狀＋２－２２１得犜狀＜!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１２分２１９．解：（１）∵犗１犗为圆柱∴直线犃１犃⊥平面犃犅犆∴直线犃１犃⊥直线犅犆又∵直线犃犅为圆犗的直径∴∠犃犆犅＝９０°，犃犆⊥犅犆!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!２分又∵犅犆⊥犃犃１∴犅犆⊥平面犃１犃犆，且犅犆平面犃１犅犆∴平面犃１犃犆⊥平面犃１犅犆!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!５分（２）过点犆作犆犇⊥犃犅于点犇︵︵∵犅犆＝２犃犆【·高三开学检测———数学答案第４页（共８页）】{#{QQABYYQUogAoABBAARgCEQGgCEAQkBACAAgGhAAIIAABiRFABAA=}π２π∴∠犃犗犆＝，∠犆犗犅＝３３∴△犃犗犆为等边三角形!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!７分∴犃犇＝犇犗＝１，犆犇＝槡３π∵犃１犆与面犃１犃犅犅１所成角为４∴犃１犇＝犆犇＝槡３∴犃１犃＝槡３－１＝槡２!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!８分以点犗为坐标原点，以直线犃犅为狔轴，以过点犗且垂直于直线犃犅的直线为狓轴，以犗１犗所在的直线为狕轴，建立如图所示的空间直角坐标系．犅（０，２，０）犆（槡３，－１，０） 犃１（０，－２，槡２） 犅１（０，２，槡２）→∴犅犆＝（槡３，－３，０）→犃１犆＝（槡３，１，－槡２）→犅１犆＝（槡３，－３，－槡２）设犿＝（狓，狔，狕）为平面犃１犅犆的法向量→烄犿·犅犆＝０烄槡３狓－３狔＝０∴烅→ ∴烅烆犿·犃１犆＝０烆槡３狓＋狔－槡２狕＝０取犿＝（槡３，１，２槡２），同理取平面犅１犅犆的法向量狀＝（槡３，１，０）!!!!!!!!!!!!!!!!!!１０分｜犿·狀｜｜４｜槡３∴平面犃１犅犆与平面犅１犅犆夹角的余弦值ｃｏｓθ＝＝＝!!!１２分｜犿｜·｜狀｜槡１２·槡４３２０．解：（１）∵△犃犅犆面积为犛，１２３∴犛＝犪犫ｓｉｎ犆，且犫２＝槡犛＋犪犫ｃｏｓ犆，２３３得犫２＝槡犪犫ｓｉｎ犆＋犪犫ｃｏｓ犆３３犫＝槡犪ｓｉｎ犆＋犪ｃｏｓ犆!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!２分３３由正弦定理得：ｓｉｎ犅＝槡ｓｉｎ犃ｓｉｎ犆＋ｓｉｎ犃ｃｏｓ犆３３ｓｉｎ（犃＋犆）＝槡ｓｉｎ犃ｓｉｎ犆＋ｓｉｎ犃ｃｏｓ犆３３ｓｉｎ犃ｃｏｓ犆＝槡ｓｉｎ犃ｓｉｎ犆＋ｓｉｎ犃ｃｏｓ犆３槡３ｃｏｓ犃＝ｓｉｎ犃（ｓｉｎ犆≠０）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!４分３∴ｔａｎ犃＝槡３ （０＜犃＜π）π得犃＝!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!５分３（２）∵犅犆边上中线｜犃犇｜＝１→→→∴２犃犇＝犃犅＋犃犆【·高三开学检测———数学答案 第５页（共８页）】{#{QQABYYQUogAoABBAARgCEQGgCEAQkBACAAgGhAAIIAABiRFABAA=}#}→→→→→∴４犃犇２＝犃犅２＋犃犆２＋２犃犅·犃犆得犫２＋犮２＋犫犮＝４，犫２＋犮２＝４－犫犮!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!６分（犫＋犮）２＝４＋犫犮，犫＋犮＝槡４＋犫犮且犫２＋犮２≥２犫犮，即４－犫犮≥２犫犮４０＜犫犮≤，当且仅当犫＝犮时，“＝”成立．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!７分３π２２２又∵∠犆＝，由余弦定理得犫＋犮－犪＝犫犮３犪２＝犫２＋犮２－犫犮＝４－２犫犮∴犪＝槡４－２犫犮!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!８分４∴犪＋犫＋犮＝４－２犫犮＋４＋犫犮（０＜犫犮≤）槡槡３４设犳（狓）＝４－２狓＋４＋狓（０＜狓≤）槡槡３－２１槡４－２狓－２槡４＋狓犳′（狓）＝＋＝２槡４－２狓２槡４＋狓２槡４－２狓槡４＋狓设犵（狓）＝槡４－２狓－２槡４＋狓－２１犵′（狓）＝（槡４－２狓－２槡４＋狓）′＝－＜０２槡４－２狓槡４＋狓４∴犵（狓）在（０，］单调递减３又∵犵（０）＝－２∴犵（狓