专题06求概率的几种常见方法几何概率1．（2022秋·浙江绍兴·九年级校考期中）如图所示的正方形纸片由若干个大小完全相同的黑色和白色小正方形组成，在它上面做随机扎针实验，针头扎在黑色区域内的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】刚好落在黑色区域上的概率就是黑色区域面积与总面积的比值，从而得出答案．【详解】解：∵黑色区域的面积占总面积的，∴刚好落在黑色区域的概率为．故选：B．【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．2.（2023春·山东烟台·九年级统考期中）如图，以正方形边长为直径做半圆，形成如下图形，若将飞镖随机投掷到正方形镖盘面上，则飞镖落在黑色区域的概率是．  【答案】/【分析】如图，连接，相交于点O，根据正方形被分成四等分，飞镖落在每个区域的机会是均等的，即可得到飞镖落在黑色区域的概率．【详解】解：如图，连接，相交于点O，  ∵正方形既是轴对称图形，也是中心对称图形，∴正方形被分成四个全等的等腰直角三角形，黑色区域的面积正好等于两个等腰直角三角形的面积，即黑色区域占了正方形面积的,∵飞镖落在每个区域的机会是均等的，∴飞镖落在黑色区域的概率是，故答案为：【点睛】此题考查了几何概率，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．3．（2021春·广东广州·九年级校考期中）将矩形分成15个大小相等的正方形，E，F，G、H分别在边上，且是某个小正方形的顶点．若一只小猫在这个图形上玩耍，则落在四边形内的概率是．  【答案】/【分析】根据题意，设每一个正方形的边长为1，则其面积为1，进而可得矩形的面积与的面积，即可得四边形的面积，根据几何概率的求法，计算两者的比值可得答案．【详解】解：根据题意，设每一个正方形的边长为1，则其面积为1，则，∴，，则，根据几何概率的求法，可得其概率为．故答案为：．【点睛】此题考查几何概率的求法，事件（A）所表示的区域的面积与总面积的比值，就是事件（A）发生的概率．4.（2022秋·山西阳泉·九年级统考期中）综合与探究【问题再现】(1)课本中有这样一道概率题：如图①，是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域和白色区域的概率分别是多少？请你解答．【类比设计】(2)在元旦晚会上班长想设计这样一个摇奖转盘：在图②中设计一个转盘，自由转动这个转盘，当它停止转动时，三等奖：指针落在红色区域的概率为，二等奖：指针落在白色区域的概率为，一等奖：指针落在黄色区域的概率为．请你帮忙设计．【拓展运用】(3)在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立转盘，转盘被平均分为16份，顾客每消费100元转动1次，对准红（1份），黄（2份），绿（4份）区域，分别奖励50元，30元，20元、其他区域无奖励．则转动1次获奖金的概率是 ．【答案】(1)，；(2)见解析(3)11.875【分析】（1）用红色区域的面积除以圆的面积可得到指针落在红色区域的概率；用白色区域的面积除以圆的面积可得到指针落在白色区域的概率；（2）把圆分成8等份，然后把红色占3份，白色占三份，黄色占2份即可；（3）根据相应金额和百分比可得到每转动一次转盘所获购金额的平均数．【详解】（1）根据几何概率的意义可得：，；（2）如图②，（3）（元）；故答案为：11.875．【点睛】本题考查了几何概率，正确记忆概率的含义是解题关键．列举法求概率5.（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）从1~9这九个自然数中任取一个，是2的倍数或是3的倍数的概率是（   ）A． B． C． D．【答案】C【分析】从1到9这9个自然数中任取一个有9种可能的结果，其中是2的倍数或是3的倍数的有2，3，4，6，8，9共计6个．【详解】解：从1到9这9个自然数中任取一个有9种可能的结果，是2的倍数或是3的倍数的有6个结果，因而概率是．故选：C．【点睛】用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．正确写出是2的倍数或是3的倍数的数有哪些是本题解决的关键．6.（2022秋·四川成都·九年级校考期中）随机抛一枚硬币两次，两次都是反面朝上的概率是．【答案】/【分析】根据题意可以写出所有的可能性，从而可以求得两次反面朝上的概率．【详解】解：随机掷一枚质地均匀的硬币两次，共“正、反”，“反、正”，“正、正”，“反、反”，4种情况，其中两次都是反面朝上的有1种情况，∴两次都是反面朝上的概率是．故答案为：．【点睛】本题考查列举法求概率，解答本题的关键是明确题意，写出所有的可能性，求出相应的概率．7．（2022秋·北京西城·九年级北京十四中校考期中）九年级某班班主任老师为学生小黄、小明和小红三个人照相，他们三人随意排成一排进行拍照，小红恰好排在中间的概率是．【答案】【分析】列举出所有情况，让小红恰好排在中间的情况数除以总情况数即为所求的概率．【详解】解：设小黄、小明和小红为A、B、C，排列方式有：A、B、C；A、C、B；B、A、C；B、C、A；C、A、B；C、B、A．小红在中间的情况有两种，概率为．故答案为：．【点睛】本题考查了利用例举法求解随机事件的概率，熟练的例举出所有的可能的情况是解本题的关键．8.（2022秋·浙江杭州·九年级校联考期中）现有4根小木棒，长度分别为：2，3，4，5(单位：)，从中任意取出3根．(1)列出所选的3根小木棒的所有可能情况；(2)如果用这3根小木棒首尾顺次相接，求它们能搭成三角形的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用列举法即可列举出所选的3根小木棒的所有可能情况；（2）由能搭成三角形的情况有3种，利用概率公式求解即可求得答案．【详解】（1）解：所有可能情况：；（2）解：∵能搭成三角形的情况有，，，共有种，∴能搭成三角形的概率为．【点睛】本题考查了列举法求概率的知识．此题难度不大，注意要不重不漏，注意概率所求情况数与总情况数之比．列表法求概率9.（2019秋·江苏南通·九年级校联考期中）有一位新娘去商场买新婚衣服，购买了不同款式的上衣2件，不同颜色的裤子3条，利用树状图或列表法表示搭配衣服的所有可能出现的结果有种．【答案】6【分析】考虑用某几个字母分别把上衣和裙子表示出来，可用列表法或画树状图的方法列举；不妨进行列表表示出所有的搭配方法，然后观察表格进行解答.【详解】解：设2件不同款式的上装用a和b来表示，3件不同颜色的裙子用c、d和e来表示，那么用列表法表示如下:观察表格可得，搭配衣服有6种可能的结果.【点睛】此题旨在考查学生对在概率计算中列表法和树状图的运用的掌握情况.计算事件发生的概率常用的有以下几种方法：（1）列表法：一次实验涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，通常采用此方法.（2）画树形图法：事件经过多次步骤（不超过三步）完成时，用此方法很有效.树状图求概率法10.（2021春·广东广州·九年级校考期中）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．又快到农历五月初五端午节了，奶奶包了5个粽子，其中有2个是红枣馅儿的，有2个是肉豆馅儿的，有1个是咸蛋黄馅儿的（这些粽子除馅料不同外其他外观均相同）．小聪随手拿了两只来吃．(1)请你用树状图或列表法为小聪预测一下所吃两只粽子馅料相同的概率．(2)求小聪吃到了喜欢的肉豆馅儿粽子的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意画出树状图，得出共有20种吃粽子的情况，其中两只粽子馅料相同的情况有4种，再根据概率公式解答即可；（2）由（1）中的树状图得出小聪所拿两只粽子中有肉豆馅儿的情况数，再根据概率公式解答．【详解】（1）解：用A、B、C分别表示红枣馅儿和肉豆馅儿以及咸蛋黄馅儿的粽子，画树状图如下：可知共有20种吃粽子的情况，其中两只粽子馅料相同的情况有4种，所以所吃两只粽子馅料相同的概率为；（2）由上的树状图，小聪所拿两只粽子中有肉豆馅儿的情况有14种，所以小聪吃到了喜欢的肉豆馅儿粽子的概率为．【点睛】本题考查的是用列表法与树状法求事件的概率，根据题意画出树状图是解答此题的关键．11．（2023春·福建厦门·九年级厦门市湖滨中学校考期中）随着生活水平提高，人们对饮水品质的需求越来越高．某商家现有、、三种型号的甲品牌净水器和，两种型号的乙品牌净水器．净水器款式进价(元/台)售价(元/台)型净水器型净水器(1)某公司要从甲、乙两种品牌净水器中各选购一种型号的净水器．如果各种选购方案被选中的可能性相等，那么A型号净水器被选中的概率是多少？(利用树状图或列表法表示)；(2)商家对于购买净水器均有提供配送服务，下图是今年第一季度所购买的50家客户配送距离的统计图，求第一个季度该商家平均配送距离；(3)某商家计划购进A，D两种型号的净水器共50台进行试销(试销价格如表所示)，其中A型净水器为x台，购买资金不超过9.8万元，公司决定从销售A型净水器的利润中按每台捐献元作为公司帮扶贫困村饮水改造资金，设某商家售完50台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润为W，求W的最大值．【答案】(1)(2)米(3)元【分析】（1）根据画树状图法求概率即可求解；（2）根据条形统计图求得平均数即可求解；（3）根据题意列出不等式，得出，根据题意得出的函数关系，根据一次函数的性质即可求解．【详解】（1）画树状图得：有种选择方案：、、、、、；各种选购方案被选中的可能性相同，且型号净水器被选中的有种情况，即、，型号净水器被选中（2）第一个季度该商家平均配送距离是：(米)答：第一个季度该商家平均配送距离为米（3）根据题意得：解得：由于，得到>0  随的增大而增大∵∴当时，W取得最大值为.答：商家售完台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润为最大值为元．【点睛】本题考查了画树状图法求概率，统计统图，求平均数，不等式的应用，一次函数的应用，熟练掌握以上知识解题的关键．12．（2022秋·山东青岛·九年级青岛大学附属中学校考期中）一个布袋里装有除颜色外完全相同的若干个球，其中1个白球，若干个红球，从中任意摸出1个，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，通过大量的重复实验，得到摸出白球的频率是．(1)则布袋中红球的个数为个．(2)若从布袋中两手各摸出一个球不放回共摸出个球，用列表法或树状图法求出两球都是红球的概率是多少？【答案】(1)(2)见解析；【分析】（1）用白球的个数除以摸出白球的频率值求出球的总个数，继而可得答案；（2）列表得出所有等可能结果，从中找到摸出2个球都是红球的结果数，再根据概率公式求解即可．【详解】（1）解：由题意知，布袋中球的总个数为（个），则红球的个数为（个），故答案为：3；（2）解：列表如下：白红1红2红3白（白，红1）（白，红2）（白，红3）红1（红1，白）（红1，红2）（红1，红3）红2（红2，白）（红2，红1）（红2，红3）红3（红3，白）（红3，红1）（红3，红2）由表知，共有12种等可能结果，其中摸出2个球都是红球的有6种结果，所以摸出2个球都是红球的概率为．【点睛】此题考查了概率公式与用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．树状图求概率13.（2023春·吉林长春·九年级校考期中）“红灯停，绿灯行”是我们在日常生活中必须遵守的交通规则，这样才能保障交通顺畅和行人安全．小刚每天从家骑自行车上学都经过三个路口，且每个路口只安装了红灯和绿灯，假如每个路口红灯和绿灯亮的时间相同，请用画树状图的方法，求小刚从家随时出发去学校遇到两次红灯的概率．【答案】【分析】画树状图求概率即可求解．【详解】解：画树状图如下：  由树状图可知一共有8种等可能性的结果数，其中他遇到两次红灯的结果数有3种，∴P（他遇到两次红灯的概率）【点睛】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：