2023-2024年度质量检测（一）数学答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1-4BCDB5-8CADD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.BC10.BCD11ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分2612．13．13．14．n5bn227四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（解答题仅提供一种或两种解法的评分细则，其他解法请各校教研组依据本评分标准商讨进行）15.（13分）解：（1）∵ababc2222，a2b2-c2∴a2b2-c2-2ab，∴cosC=………………………………………2分2ab22ab22ab…………………………………………………3分3∵C∈(0，π)，∴C=…………………………………………………5分4(2)∵c＝2bcosB由正弦定理可得：sinCBB2sincos…………………………………………………7分2∴sinsinCB2=…………………………………………………8分2∵∴B∈(0,)，2B∈(0,)42∴2==BB，…………………………………………………9分483∴A=-848∴a=b=1…………………………………………………11分1132△ABC的面积为absinC11sin=…………………………………………………13分2244116．（15分）解析：（1）设ACB,D交于F，连接EFBD在△ABD中，由正弦定理知，AC24R，………………………………………2分sinA在△OFB中，OFOBsin301，所以F为OC中点，所以EFP//O，………………………………………4分又PO平面，所以EF平面EF平面BED，因此平面BED平面………………………………………6分（2）法一：以点F为坐标原点，FAFBFE,,所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则A(3,0,0)，M(2,3,0)，E(0,0,3)，………………………8分故AM(1,3,0)，AE(3,0,3)…………………………………9分设平面AME的法向量n1(,,)xyzn1AM0xy30由得…………………………11分n1AE0330xz令x3，解得n1(3,1,3)………………………………12分2平面PAC的法向量n2(0,1,0)……………………………13分113cos,nn123191313因此平面AME与平面夹角的余弦值为…………………………………15分13法二：如图所示，过M作MNAC于N，过作NQAE于Q,连接MQQNMPOABD平面POMN又MNAC,POACOMNPAC平面………………………………8分MNAE又AENQ,MNNQNAEMNQ平面AEMQMQN为二面角MAEC的平面角………………………………………9分ACO为的直径AMC90在RtAMC中，ACMAC30,=4AMACSinACM2在RtANM中，MN=3,…………………………11分AN1等边PAC中，E为AC的中点AEPCCE,2NQAN111NQCECEAC442………………………………………12分MNtanMQN23在RtMNQ中，NQ……………………………14分13cosMQN13因此平面与平面夹角的余弦值为………………………………………15分17．（15分）3解析：（1）因为ac3，ab222c，所以acbc22229,8……………………………2分16418又1，所以1，解得c1………………………………………4分ab22999cc22xy22所以ab3,22，因此椭圆E:1………………………………………5分98（2）设直线CDx:1my，CxyDxy(,),(,)1122，xy22122由98得(89)16640mymy，…………………………7分xmy11664myyyy,，0，……………………………………9分12128989mm22yyP1yyP2因为kkPCAC，所以，同理，xxP331xxP332xyxymymy3(3)(4)4yy因此P1212121，………………………………………11分xyxymymyP3(3)(2)22121122yy由韦达定理知myyyy12124()，xyyyyyP34()48412112所以2，解得xP9，……………………13分xyyyyyP34()24212212又OMPA//，所以M为PB中点，因此xM3，OMy(3,)M，故OAOM9………………………………………………………………………………15分18.（17分）设第一次抽到正常硬币为事件A，抽到双面都印着字的硬币为事件B，抽到双面都印着花的硬币为事件C，第一次投掷出正面向上为事件，第二次投掷出正面向上为事件，选择方案一进行第三次投掷并正面向上为事件，选择方案二进行第三次投掷并正面向上为事件（1）由全概率公式可得，------------------------------------------------------------------------------------------------------2分（2）连续两次都是正面的概率=4------------------------------------------------------------------------------------------------------4分所以------------------------------------------------6分（3）（一）若选择方案一，设第三次投掷后最终获得的礼券为X元，第三次掷出正面向上为事件S，则=---------------------------------------------------------------------------------------------8分,，---------------------------------10分（二）若选择方案二，设第三次投掷后最终获得的礼券为Y元，第三次掷出正面向上为事件T，①如果第一次抽到的是正常硬币，设第二次抽到正常硬币为事件，第二次抽到两面都是字的硬币为事件，第二次抽到两面都是花的硬币为事件，则----------------------------------------12分②如果第一次抽到的是两面都是字的硬币，设第二次抽到正常硬币为事件，第二次抽到两面都是字的硬币为事件，第二次抽到两面都是花的硬币为事件，则所以，，.------------------------------------------------14分,，---------------------------16分5综上，由（一）、（二）可得，，所以选择方案二的收益更高.-----------------------17分19.(17分)（1）当x0时，fx()单调递增，且f(0)1，x，fx()，因此在区间，0上存在唯一零点．---------------------1分exx2a2当x0时，只要eax0存在两个根即可，即x存在两个根，ex(2)xexgx()2gx()3设x，则x，当x(0,2)时，gx()0，函数gx()单调递减；当x(2,)时，gx()0，函数单调递增；---------------------3分e2g(2)又4，当x0时，gx()；当x时，，e2a故4时，在区间0，存在两个零点，因此a的取值范围为---------------------5分（2）①，，令，令，可得，时，，单调递减，时，，单调递增，故，解得.--------------------------------------------------------------7分②设为好点，对于，都有，当时，，成立.当时，即为当时，恒成立，6当时，恒成立.-----------------------------------------------------------------8分因为在在点的切线方程为，所以，设---------------------------------------------------------------------------------------9分又因为在上单调递减，上单调递增，故分情况讨论.①当时，因为为好点，所以恒成立若，在上单调递增，，，所以在时单调递增，，满足条件.故时成立.-------------------------------------11分若,在上单调递减，在上单调递增,在时，，，所以在时单调递减，，矛盾，不满足条件.---------------------------------------------------13分②当时，因为为好点，所以恒成立若，在上单调递减，，，所以在时单调递增，，满足条件.故时成立.------------------------------------------15分若,在上单调递减，在上单调递增,在时，，，所以在时单调递减，，矛盾，不满足条件.综上，由①、②可得，且，即，所以只有一个好点.-------------------------17分7