2023年春“湖北省部分重点中学三月联合检测”高二三月联考数学试题本试题卷共4页，22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知直线l1：3x3y10．若直线l2与l1垂直，则l2的倾斜角是A．120°B．150°C．60°D．30°2．已知等差数列an的前n项和为Sn，若S721，a25，则公差为A．－3B．3C．1D．－13．抛物线y4x2的焦点坐标为11A．0,1B．0,C．,0D．1,016164．函数fxx22xex的图像大致是A．B．C．D．5．已知圆O：x2y216和点P3,6，若过点P的5条弦的长度构成一个递增的等比数列，则该数列公比的取值范围是．．．．A1,2B1,2C0,2D0,26．中国古代哲学用五行“金、木、水、火、土”来解释世间万物的形成和联系，如图，现用3种不同的颜色给五“行”涂色，要求相邻的两“行”不能同色，则不同的涂色方法种数有A．24B．36C．30D．20227．若不等式abalnb≥m对任意aR，b0,恒成立，则实数m的取值范围是12．．．．A,B,C,2D,222x2y28．已知双曲线C：1a0,b0的右焦点F，过点F倾斜角为的直线与双曲线左右两支分a2b2226别交于A，B两点，若AF23BF2，则双曲线C的离心率e为443A．3B．2C．D．33二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知圆C：x2y24，直线3mx4y33m0mR，则下列结论正确的是A．圆C与曲线x2y26x8ym0恰有三条公切线，则m16B．当m0时，圆C上有且仅有三个点到直线l的距离都等于1C．直线l恒过第二象限164D．当m13时，l上动点P作圆C的切线PA，PB，且A，B为切点，则AB经过点,9910．正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为2，侧棱长是3，AB，BC的中点为M，N，过点D1，M，N的平面记为α，则下列说法中正确的是A．平面α截得的截面面积为73B．3VVBMND1D1MND6C．BD⊥平面ACDD．二面角AMND的正弦值为113x2y2x2y2．已知椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，两11221a1b10e1221a20,b20e2a1b1a2b2曲线有公共焦点F1，F2，P是椭圆与双曲线的一个公共点，F1PF260，以下结论正确的是222222A．a1b1a2b2B．b13b213．．22的最小值为C221D2e12e2234e14e2lnx12．已知函数fx，e是自然对数的底数，则xA．21111B．2ln33ln23ln2x1x2C．若x2x1，则x1x22eD．fx1fx2，且x1x2，则lnx1lnx22三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．113．已知数列an满足a12，an11，则a2023．an14．在《九章算术》中记载了一种“曲池”的几何体，该几何体的上，下底面平行，且均为扇环形（扇环指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，它的高为2，AA1，BB1，CC1，DD1均与曲池的底面垂直，底面扇环所对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为，则直线AB与CD所成角的余211弦值为．15．棱锥P-ABC的顶点都在球O的表面上，线段PC是球的直径，ACBC3，AB33，VPABC33，则球O的表面积为．116．已知不等式e2xkx2x≥lnxlnkk0恒成立，则k的最大值为．2四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．17．（本题满分10分）一个口袋中有大小相同的5个白球和4个红球，每个球编有不同的号码．（1）若一次取2个球，至少有一个白球的取法有多少种；（2）若一次取出颜色不全相同的3个球，有多少种取法．18．（本题满分12分）1an1已知数列an的前n项的积记为Tn，且满足．Tn2an（1）证明：数列Tn为等差数列；1nn1（2）设bn，求数列bn的前n项和Sn．TnTn119．（本题满分12分）已知函数fxxexaxa，a≥0．（1）若a1，求fx的单调区间；（2）关于x的不等式fx≥alnx恒成立，求实数a的取值范围．20．（本题满分12分）如图，已知圆锥P-ABC，AB是底面圆O的直径，且长为4，C是圆O上异于A，B的一点，PA23．设二面角P-AC-B与二面角P-BC-A的大小分别为α与β．11（1）求的值；tan2tan2（2）若tan3tan，求二面角A-PC-B的正弦值．21．（本题满分12分）x2y2已知椭圆1的左、右焦点分别为F，F过F的直线交椭圆于B，D两点，过F的直线交椭圆于A，C321212两点，且ACBD，垂足为P．x2y2（1）设P点的坐标为x,y，证明001；0032（2）求四边形ABCD的面积的最小值．22．（本题满分12分）已知函数fxex2ax1aR．（1）若fx≥0恒成立，求实数a的取值集合；n1n1n1n1*123n1（2）求证：对n≥N，都有sinsinsinsin．n1n1n1n1e12023年春“湖北省部分重点中学三月智学联合检测”高二三月联考数学参考答案题号123456789101112答案ADBCACBDACDBDBCDABD1．A．2．D．aa由Saaa7a21，则a3，∴公差d421．71274423．B．1焦点在y轴正半轴上，故焦点坐标0,．164．C．先分析函数fx有两个零点，再探讨函数fx的单调性与极值情况即可判断．5．A．22过点P的弦长d2415,8，公比的取值范围1,2．6．C．对称涂色．7．B．转化为直线yx与曲线fxlnx上的点的距离最小值d≥m，利用导数的几何意义求fx上斜率为1的切线上切点坐标，再应用点线距离公式求最小距离，即可得m的范围．8．D．根据题意写出直线方程，与双曲线方程联立，运用韦达定理与AF23F2B构建出关于a、b、c的齐次方程，根据离心率公式即可解得．9．ACD．当m13时，直线l为4xy90，设点Pt,94t，圆C：x2y24的圆心C0,0，半径为4yx0r2，∴两圆的公共弦的方程为tx4ty9y40整理得4yxt9y40，即，解9y40之可得．10．BD．11．BCD．12．ABD．lnx对于A、B，根据函数fx的单调性，即可判断；对于C，构造函数gtfetfet，xt0,e，判断其单调性，结合x1lnx2x2lnx1，fx1fx2即可判断；对于D，将fx1fx2展开整理得lnx1lnx2mx1x2，lnx1lnx2mx1x2，然后采用分析法的思想，推出x211xx2t1ln12，构造函数utlnt，求其最小值即可判断．xxt1211x213．2．根据数列的递推公式，确定数列的前几项，由此确定数列的周期，再求a2023．414．．5建立空间直角坐标系，用向量法求解异面直线AB1与CD1所成角的余弦值．15．52π．16．e2．122不等式e2xkx2x≥lnxlnkk0变形为：exlnex≥kxlnkx，2x22xe所以yxlnx在0,单调递增，故e≥kx，变形得到≥k，xexexx1构造gx，x0，则g'x，当x1时，g'x0，当0x1时，g'x0，xx2xxee22故gx在x1处取得极小值，也是最小值，可知e，故k≤e，k的最大值为e．xxmin17．（1）30；（2）70．18．1a1111T（1）当n≥2时，nn1，Tn2an22an22TnTT∴1nn1，即TT2，22nn111a11又当n＝1时，，得T1a13，T1a12a1∴数列Tn是以3为首项，2为公差的等差数列；nn1n1111（）由（）得，则，21Tn2n1bn2n12n342n12n31111111n1n111n1n1∴Sn…111143557792n12n3432n38n121．1219．（1）当a＝1时，fxxexx1，则f'xx1ex1．当x,0时，因为x11，且0ex1，所以x1ex1，所以f'xx1ex10，fx单调递减．当x0,时，因为x11，且ex1，所以x1ex1，所以f'xx1ex10，fx单调递增．所以当a＝1时，fx的单调递减区间为,0，单调递增区间为0,．（2）fx≥alnx恒成立等价于xexaxaalnx≥0x0恒成立，令hxxexaxaalnxx0，则hx≥0．min①当a＝0时，hxxex0在区间0,上恒成立，符合题意；xaxax1x②当a0时，h'xx1eax1exea，xxx令gxxexa，g'xx1ex，即g（x）在0,上单调递增，g0a0，aa，则存在，使得x0，gaaeaae10x00,agx00x0ea0x0此时x0ea，即x0lnx0lna，则当x0,x0时，h'x0，hx单调递减；当xx0,时，h'x0，hx单调递增．所以hxhxxex0axlnxa2aalna．min0000令hx≥0，得2aalna≥0．min因为a0，所以0a≤e2．2综上，实数a的取值范围为0,e．20．（1）连结PO．因为点P为圆锥的顶点，所以PO⊥平面ABC．分别取AC，BC的中点M，N，连接PM，OM，PN，ON，则在圆O中，OM⊥AC．由PO⊥平面ABC，得PO⊥AC．又POOMO，故AC⊥平面PMO，所以AC⊥PM．所以PMO．同理，PNO．22211OMONOCOC21于是．2222tantanOPOPOPAPOA2OPOP（2）因为tan3tan，即3，所以OM3ON，即BC3AC，ONOM∵AC2BC2AB2，∴BC23，A