2024年甘肃省高三月考试卷（3月）数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数ëé1+1+aiûùi在复平面内对应的点位于第二象限，则实数a的取值范围是（）A.a>-1B.a<-1C.a>1D.a<12.设集合A=x∣y=32-x,B=-1,0,1,2,3，则ABÇ=（）A.-1,0,1,2B.-1,0,1,2,3C.-1,0,1D.-1,23.小李一周的总开支分布如图（1）所示，其中一周的食品开支如图（2）所示，则以下判断错误的是（）A.小李这一周用于肉蛋奶的支出高于用于娱乐的支出B.小李这一周用于食品中其他类的支出在总支出中是最少的C.小李这一周用于主食的支出比用于通信的支出高D.小李这一周用于主食和蔬菜的总支出比日常支出高4.已知点P3m,4mm¹0为角a终边上一点，则sin2a=（）724247A.B.-C.D.-252525255.已知数列an为等差数列，a4+a5+a6=6,a7+a8+a9=11，则a10+a11+a12=（）A.16B.19C.25D.29x2y26.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为FO,为坐标原点，过F作圆x2+y2=a2的切线交y轴a2b2uuuruuur于点A，切点为B，若FB=3BA，则双曲线的渐近线为（）A.y=±3xB.y=±2x3C.y=±xD.y=±x3æ1öæe2öæ3ö7.已知函数fx=lnx,a=fçln÷,b=fçln÷,c=fçln÷，则（）è2øè2øè2øA.a2024=（）2eπ-e-2023π21-e2024π2eπ-e-2023π21-e2024πA.πB.πC.πD.π2e41-eπ2e41-eπ2e4eπ+12e4eπ+1二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的有（）A.数据29,30,39,25,37,41,42,32的第75百分位数是401B.若x~N25,4，则PP20„„…x25+x30=23C.4名学生选报3门校本选修课，每人只能选其中一门，则总选法数为C4种D.(1-x)8展开式中x3项的二项式系数为56110.梯形ABCD中，AD∥BC,AB=AD=DC=BC=2,DAC沿着AC翻折，使点D到点P处，得到2V三棱锥P-ABC，则下列说法正确的是（）A.存在某个位置的点P，使AC^平面PABB.若AC的中点为E，则异面直线PE与AB所成角的大小和平面PAC与平面ABC所成角的大小相等C.若平面PAC^平面ABC，则三棱锥P-ABC外接球的表面积是20πD.若BC的中点为F，则必存在某个位置的点P，使FC=FP11.围棋是古代中国人发明的最复杂的智力博弈游戏之一.东汉的许慎在《说文解字）中说：“弈，围棋也”，因此，“对弈在当时特指下围棋，现甲与乙对弈三盘，每盘赢棋的概率是p1，其中甲只赢一盘的概率低于甲只赢两盘的概率.甲也与丙对弈三盘，每盘赢棋的概率是p2，而甲只赢一盘的概率高于甲只赢两盘的概率.若各盘棋的输赢相互独立，甲与乙､丙的三盘对弈均为只赢两盘的概率分别是PA()和PB()，则以下结论正确的是（）1A.0C.$p1Î0,1，使得对Îp20,1，都有PAPB>4D.当PAPB=时，p2+pp+p2>11223三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.rr12.已知单位向量ar,b满足3ar-4b=m，则m的范围是___________.π13.已知正四棱台的上､下底面边长分别为2和4，侧棱与底面所成的角为，则该四棱台的体积为3___________.14.若曲线C:mx2+ny2=1(mn¹0，且m¹n)经过6,--15,2,3,4,0这三点中的两点，则曲线C的离心率可能为___________.（写出一个即可）.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.x2y215.（13分）已知FF1,2为椭圆E:+=1(a>b>0)的左､右焦点，P为椭圆E上任意一点，a2b2PF1+PF2=8,PF1的最大值为6.（1）求椭圆E的标准方程；uuuruuur（2）过点F2的直线l交椭圆于AB,两点，若FAFB1×1=-2，求直线l的方程.16.（15分）如图，角aaÎR的始边为x轴非负半轴，终边与单位圆交于点P，过点P作y轴的垂线，垂足为MM,到直线OP的距离为MN.若将MN关于角a的函数关系记为y=fx.（1）求y=fx的解析式；1π（2）将fx图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长26éπù度，得到函数gx的图象，求gx在0,的单调递增区间.ëê2ûú17.（15分）如图，空间六面体ABCDEFGH中，AD∥BC,EH∥FG,ÐÐBCD=FGH=90o，平面ABCD∥平面EFGH,CDHG为正方形，平面HDCG^平面ABCD,AD=FG=2EH,BC=3EH.（1）求证：AE∥BF；（2）若EF=2EH，求平面ABF与平面ABCD所成角的余弦值.18.（17分）下表是2017年至2021年连续5年全国研究生在学人数的统计表：年份序号x12345人数y（万263273286314334人）（1）现用模型yˆ=bˆ(x+1)2+aˆ作为回归方程对变量x与y的关系进行拟合，发现该模型的拟合度很高.请计算该模型所表示的回归方程（aˆ与bˆ精确到0.01）；（2）已知2021年全国硕士研究生在学人数约为267.2万人，某地区在学硕士研究生人数占该地在学研究生的频率值与全国的数据近似.当年该地区要在本地区在学研究生中进行一项网络问卷调查，每位在学研究生均可进行问卷填写.某天某时段内有4名在学研究生填写了问卷，X表示填写问卷的这4人中硕士研究生的人数，求X的分布列及数学期望.nnåxi---xyiyåxiyinxyi=1i=1参考公式及数据：对于回归方程yˆ=mxˆ+nˆ,,mˆ=n=22nx-x2åiåxi-nxi=1i=1n(n+1)(2n+1)5ˆˆ222n=y-mx,1+2+L+n=,åyi=1470.6i=119.（17分）已知函数fx=xlnx(x>0).（1）求函数fx的极值点及极值；1（2）若00恒成立.123m2+4123m2+4uuuruuur由FAFB1×1=-2，得x1+2x2+2+y1y2=-2.又x1=my1+2,x2=my2+2，可得：my1+4my2+4+y1y2=-2-36m2+286即=-2，解得m2=.3m2+453030所以m=或m=-.55故直线l的方程为5x±30y-10=0.16.解：（1）可知PMcosa,sina,0,sina，又直线OP的方程为sina×x-cosa×y=0，sinacosa1故根据点到直线距离公式MN==sin2a，sin2a+cos2a21即fx=sin2x.21æ2πö（2）可知gx=sinç4x+÷，2è3ø2πππkππkπ由kπ„„4x++kπ,kÎZ，得-+„„x-+,kÎZ，3264244éπùéπ5πùéπ11πù所以当xÎê0,ú时，函数gx的单调增区间为,和,ë2ûëê1224ûúëê324ûú17.解：（1）QAD∥BC,ADË平面BCGF,BCÌ平面BCGF，\AD∥平面BCGF.QCDHG为正方形，\HD∥CG，同理可得HD∥平面BCGF.QADÇHD=D,ADÌ平面ADHE,HDÌ平面ADHE，\平面ADHE∥平面BCGF.Q平面ADHEÇ平面ABFE=AE,平面BCGFÇ平面ABFE=BF，\AE∥BF.（2）由于CDHG为正方形，平面HDCG^平面ABCD，可得CG^平面ABCD.如图，建立空间直角坐标系C-xyz，设EH=a，根据条件可知HG=CG=3a则Da3,0,0,AaaBaEaaaF3,2,0,0,3,0,3,,3,0,2,aa3，可知平面ABCD的一个法向量为mr=0,0,1，r设平面ABF的一个法向量为n=x0,,y0z0，ìruuurïn×AB=-3ax0+ay0=0,则í取nr=1,3,1，ruuurîïn×AE=-ay0+3az0=0.15\cosmr,nr==，555\平面ABF与平面ABCD所成角的余弦值为.518.解：可令z=(x+1)2，则z与y成线性回归关系，ˆ2根据公式可得y=2.29z+252.74，即yˆ=2.29(x+1)+252.74.4æ4ö（2）可求得该地区硕士研究生在学生数占总在学研究生人数的频率值为，可知XB~ç4,÷，因此随机5è5ø变量X的分布列如下：X0123443223140æ1ö11æ4öæ1ö162æ4öæ1ö963æ4öæ1ö2564æ4ö256PC4ç÷=C4ç÷ç÷=C4ç÷ç÷=C4ç÷ç÷=C4ç÷=è5ø625è5øè5ø625è5øè5ø625è5øè5ø625è5ø6254EX=4´=3.2（人）.519.解：（1）由于f¢x=lnx+1，1故当0时，f¢x>0，函数fx为增函数，e11所以当x=时，函数取极小值-，ee11即函数fx的极小值点为x=，且极小值为-；无极大值点和极大值..eex（2）令2=t，则t>1，x1tlntlnt因为xlnx=xlnx，所以lnx=,lnx=，112211--t21t1t+1lnt要证xx<Ûlnx+lnx<-2Û<-2，12e121-t而t>1，只需证t+1lnt>2t-2，即证t+1lnt-2t+2>0，1令gt=t+1ln