绝密★启用前2024年3月高三调研考试试卷数学参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案BCABACDD．集合＝﹣≤≤，＝＜，则＝（）1A{x|1x2}B{x|x1}ABRA．{x|x＞1}B．{x|x≥﹣1}C．{x|1＜x≤2}D．{x|1≤x≤2}【解答】：由A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，所以∁RB＝{x|x≥1}，所以A∪（∁RB）＝{x|x≥﹣1}．故选：B．2．已知Sn为等差数列an的前n项和，若a36，a63，则S8（）A．76B．72C．36D．328()8()aaaa【解答】：S36.1836故选C.8223．设α，β是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，且a⊥α，b⊂β，则“a∥b”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】：由a⊥α，a∥b，则b⊥α，又b⊂β，所以α⊥β，故“a∥b”是“α⊥β”的充分条件．当满足α⊥β，a⊥α，b⊂β时，直线a，b可能平行，可能相交，也可能异面．故“a∥b”不是“α⊥β”的必要条件．故选：A．xy224.已知双曲线C：10b的一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线的离心率为（）4b2335A．B．2C．D．322xy22【解答】：双曲线：10,0ab的一个焦点到一条渐近线的距离为2，b2，因此双4b22cb曲线C的离心率e12.故选：B.aa5．将甲、乙、丙、丁4个人全部分配到A，B，C三个地区工作，每个地区至少有1人，则不同的分配方案为（）A．36种B．24种C．18种D．16种2【解答】：由题意，A，B，C三个地区中必有一个地区有2人，先在甲、乙、丙、丁4个人中选2个人有C4高三数学参考答案第1页（共11页）学科网（北京）股份有限公司{#{QQABbYgEogCAABIAAQhCEwHKCAGQkAECCIoOQEAMMAAACBFABCA=}#}种组合，将这两个人捆绑在一起看作一个元素，与其他2个人一起分配到A，B，C三个地区，23共有C3643A种，故选：A．6．过点（0，0）与圆x2+y2﹣4x﹣2y+4＝0相切的两条直线夹角为α，则cosα＝（）A．B．C．D．【解答】：如图，x2+y2﹣4x﹣2y+4＝0化为标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1，圆心为（2，1），半径为1，过点（0，0）与圆x2+y2﹣4x﹣2y+4＝0相切的两条直线夹角为α，设切线为y＝kx，则圆心（2，1）到切线y＝kx的距离，解得或k＝0，故切线为或y＝0，即一条切线为x轴，如图，所以tanα＝，且易知α一定为第一象限角，解得cosα＝．故选：C．7．钝角△ABC中，asinCccosB，则cos（A﹣B）＝（）13A．1B．C．D．022【解答】：由a•sinC＝c•cosB，∴sinA•sinC＝sinC•cosB，在钝角△ABC中，sinC≠0，∴sinA＝cosB>0，即sin²A＝cos²B且B为锐角，∴1-cos²A＝1-sin²B，∴cos²A＝sin²B，若C为钝角，则0高三数学参考答案第2页（共11页）学科网（北京）股份有限公司{#{QQABbYgEogCAABIAAQhCEwHKCAGQkAECCIoOQEAMMAAACBFABCA=}#}二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。题号91011答案BDABDACD9．设z为非零复数，则下列命题中正确的是（）2A．z2＝|z|2B．zzzC．zz22D．若|z|＝1，则|z+i|的最大值为2【解答】：对于A，设z＝a+bi（a，b∈R），当a，b均不为0时，z2＝（a+bi）2＝a2﹣b2+2abi为虚数，而|z|2＝a2+b2为实数，所以z2＝|z|2不成立，故A错误；对于B，设z＝a+bi（a，b∈R），则，所以，而，所以成立，故B正确；2对于C，设z＝x+yi（x，y∈R），zxiyxyxyixyx2222222222（）yxy24，又zxyxyi2222，所以zz22，故C错误．对于D，|z|＝1，则复数z对应的点P的轨迹是以O（0，0）为圆心，1为半径的圆，|z+i|＝|z﹣（﹣i）|的几何意义为复数z对应的点P与Q（0，﹣1）两点间的距离|PQ|，所以，如图可知，当点P为（0，1）时，|PQ|最大，|z+i|取最大值，最大值为2，故D正确.故选BD.110．已知函数f(x)cos(2x)，把y＝f（x）的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g（x）233的图象，以下说法正确的是（）A．x是y＝f（x）图象的一条对称轴62B．f（x）的单调递减区间为k,kkZ63C．y＝g（x）的图象关于原点对称1D．f（x）+g（x）的最大值为2【解答】：函数，把y＝f（x）的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g（x）＝cos（2x﹣π）＝﹣cos2x的图象，高三数学参考答案第3页（共11页）学科网（北京）股份有限公司{#{QQABbYgEogCAABIAAQhCEwHKCAGQkAECCIoOQEAMMAAACBFABCA=}#}对于A，令x＝，求得f（x）＝，是最大值，故直线x＝是函数f（x）图象的一条对称轴，故A正确．对于B，令2kπ≤2x﹣≤2kπ+π，k∈Z，求得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，可得f（x）的单调减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z，故B正确．对于C，由于g（x）＝﹣cos2x是偶函数，故它的图象关于y轴对称，故C错误．对于D，由于f（x）+g（x）＝cos（2x﹣）+（﹣cos2x）＝[+sin2x]﹣cos2x＝sin2x﹣cos2x＝sin（2x﹣）≤，即f（x）+g（x）的最大值为，故D正确．故选：ABD．11．已知f（x）是定义在R上的连续函数，且满足f（x+y）＝f（x）+f（y）﹣2xy，当x＞0时，f（x）＞0，设g（x）＝f（x）+x2（）A．若f（1）•f（﹣1）＝﹣3，则f（1）＝1B．g（x）是偶函数C．g（x）在R上是增函数D．（x﹣1）g（x）＞0的解集是（﹣∞，0）∪（1，+∞）【解答】：对选项A：取x＝y＝0得到f（0）＝f（0）+f（0），即f（0）＝0，取x＝1，y＝﹣1得到f（0）＝f（1）+f（﹣1）+2＝0，又f（1）•f（﹣1）＝﹣3，f（1）＞0，解得f（1）＝1，正确；对选项B：取y＝﹣x得到f（0）＝f（x）+f（﹣x）+2x2，即f（x）+f（﹣x）＝﹣2x2，则g（x）+g（﹣x）＝f（x）+x2+f（﹣x）+x2＝0，g（x）为奇函数，错误；对选项C：设x1＜x2，则＝＝，当x＞0时，f（x）＞0，故f（x2﹣x1）＞0，，故g（x2）﹣g（x1）＞0，即g（x2）＞g（x1），g（x）单调递增，正确；对选项D：g（0）＝f（0）+0＝0，（x﹣1）g（x）＞0，当x＞1时，g（x）＞0，则x＞0，故x＞1；当x＝1时，不成立；当x＜1时，g（x）＜0，则x＜0，故x＜0；综上所述：x∈（﹣∞，0）∪（1，+∞），正确；故选：ACD．高三数学参考答案第4页（共11页）学科网（北京）股份有限公司{#{QQABbYgEogCAABIAAQhCEwHKCAGQkAECCIoOQEAMMAAACBFABCA=}#}三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知一组数据如下：4，4，4，7，7，8，8，9，9，10，则这组数据的第75百分位数是．【解答】：75%×10＝7.5，故第75百分位数是第8个数，即为9.413．一个正四棱锥底面边长为2，高为3，则该四棱锥的内切球表面积为3【解答】：由题意可知该几何体为正四棱锥，如图，O为内切球的球心，PH是棱锥的高，E，F分别是AB，CD的中点，连接PF，G是球与侧面PCD的切点，可知G在PF上，OG⊥PF，设内切球半径为r，则OH＝OG＝r，HF＝1，，PF＝2，由△PGO～△PHF，∴，即，解得，所以内切球表面积为．故答案为：．axx(lnln)1．已知对任意，且当时，都有：2114x1，x20，x1x21，xxxx2112则a的取值范围是，2xx【解答】：由得：21alnx2alnx1x2x1，x1x211，alnx2alnx1x2x1x1x211alnx2x2alnx1x1.①x2x11令fxalnxx，x0,，∵由①式fxfx()()21，所以fx在x0，上递减.x2ax11所以：fx0恒成立，所以ax恒成立，a2.x2x故答案：四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（本题满分13分）如图，在圆锥SO中，AB是圆O的直径，且△SAB是边长为4的等边三角形，C，D为圆弧AB的两个三等分点，E是SB的中点．（1）证明：DE∥平面SAC．（2）求平面SAC与平面SBD所成锐二面角的余弦值．高三数学参考答案第5页（共11页）学科网（北京）股份有限公司{#{QQABbYgEogCAABIAAQhCEwHKCAGQkAECCIoOQEAMMAAACBFABCA=}#}【解答】（1）证法1：如图1，取SA的中点F，连接CF，EF，CD．∵C，D为圆弧AB的两个三等分点，∴CD∥AB，．…………………(1分)∵E，F分别为SB，SA的中点，∴EF∥AB，，……………(2分)则CD∥EF，EF＝CD，从而四边形CDEF为平行四边形，故DE∥CF．……(4分)∵DE平面SAC，CF平面SAC，∴DE∥平面SAC．………(6分)图1证法2：如图2，连接OE、OD，因为C，D为圆弧AB的两个三等分点，∴∠BOD=∠BAC=60o，∴OD∥AC，…………(1分)又点E为SB的中点，点O为AB的中点，∴OE∥SA，…………(2分)∵OD∩OD=O，SA∩AC=A，∴平面SAC∥平面EOD，…………(4分)∵DEEO平D面，∴DE∥平面SAC.…………(6分)证法3：如图3，以O为坐标原点，AB垂直平分线为x轴，图2，的方向分别为y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．∵AB＝SA＝SB＝4，∴A（0，﹣2，0），，，，1，0），E(0，1，3)则，，DE3,0，3．……(3分)设平面SAC的法向量为m＝xyz111，，，则，令x1＝1，得．…….…(5分)图3∴DEm3,0313,1330，，，∴DE∥平面SAC．…….…(6分)（2）解：以O为坐标原点，AB垂直平分线为x轴，，的方向分别为y，z轴的正方向，建立如图3所示的空间直角坐标系．∵AB＝SA＝4，所以A（0，﹣2，0），B（0，2，0），，，1，0），，∴，，，＝（0，﹣2，）．…(8分)设平面SAC的法向量为＝（x1，y1，z1），高三数学参考答案第6页（共