郑州市2024高三第二次质量预测数学（参考答案）一、单选题题号12345678答案BDCBDCCA二、多选题题号91011答案ADABDACD三、填空题112.44513.10，514.22ln2四、解答题15.解：(1)前3局比赛甲都不下场说明前3局甲都获胜，1111故前3局甲都不下场的概率为P............................4分2228(2)X的所有可能取值为0，1，2，3............................5分111其中，X0表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙输，则P(X0)；224...........................6分X1表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙赢；或第1局乙赢，且第2局乙输，11111则P(X1)；............................8分22222X2表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局乙输，1111则P(X2)；...........................9分2228X3表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局乙赢，1111则P(X3)；...........................10分2228所以X的分布列为X01231111P42881{#{QQABCQKEogAAAIJAARgCUQGACEEQkBCAAIoGhBAEsAAACBNABAA=}#}...........................11分11119故X的数学期望为E(X)0123............................13分428882ax2(12a2)xaf(x)16.解：(1)函数定义域为(0,)，x,...........................2分因为x1是函数yf(x)的极值点，1所以f(1)1a2a20，解得a或a1，2因为a…0，所以a1............................5分2x2x12x1x1此时fxxx令fx0得x1，令fx0得0x1，∴f(x)在（0,1）单调递减，在（1,）单调递增，所以x1是函数的极小值点.所以a1............................7分(2)当a0时，f(x)x，则函数fx的单调增区间为(0,);...........................8分2ax2(12a2)xa(2ax1)(xa)当a0时，f(x)，...........................9分xx因为a0，x0，则2ax10，令f(x)0得xa；令f(x)0得0xa;函数的单调减区间为(0,a),单调增区间为(a,)............................13分综上可知：当a0时，函数fx在(0,)上单调递增，无递减区间；当a0时，函数fx在(0,a)上单调递减，在(a,)上单调递增............................15分17.证明：取BC中点O，连接AO，EO.ABC是等边三角形，O为BC中点，∴AOBC，........................2分又EBEC，∴EOBC,........................3分AOEOO，∴BC平面AEO,又AE平面AEO，∴BCAE.........................5分2{#{QQABCQKEogAAAIJAARgCUQGACEEQkBCAAIoGhBAEsAAACBNABAA=}#}(2)连接DO，则DO⊥BC，由ABACBC2，DBDCEBEC2得AO3，DO1，又AD2，AO2DO2AD2，DOAO,.......................8分又AOBCO，DO平面ABC.........................9分如图，以O为坐标原点，OA，OB，OD所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则O(0,0,0)，A(3,0,0)，C(0,1,0)，D(0,0,1)，∴CA(3,1,0)，CD(0,1,1),......................................10分nCA0,3xy0,设平面ACD的法向量为n(x,y,z)，则即nCD0,yz0,取x1，则n(1,3,3).........................................12分∵AOE是二面角ABCE的平面角，∴AOE30，........................................13分3133又OE1，∴E(,0,),DE(,0,),........................................14分2222DEn7则cosDE,n,........................................16分DEn77∴直线DE与平面ACD所成角的正弦值为.........................................17分718.解：（1）依题意有b1,c3，解得a2b2c24，x2所以椭圆的方程为y21.........................................4分41（2）设l:xmy1(m0),A(x,y),B(x,y),则l:xy1(m0),AB1122CDmxmy1联立故22，22,(m4)y2my30x4y422m16m480，y1y2，........................................6分m243{#{QQABCQKEogAAAIJAARgCUQGACEEQkBCAAIoGhBAEsAAACBNABAA=}#}4m故M(,)，........................................7分m24m2414m2m由代替m，得N(,)，........................................8分m14m214m2244m244当,即m1时，lMN:x，过点K(,0).m2414m25544m2当,即m21时，m2414m25mm5m4K，l:y(x)(m21,m0),MN4(m21)MNm244(m21)m244(m21)44m2164令y0,x，5(m24)(m24)5(m24)54∴直线MN恒过点K(,0).54当m0,经验证直线MN过点K(,0).54综上，直线MN恒过点K(,0).........................................12分5(3)111mm1|m3m|SSS|KS||yy|||MNSMKSNKS2MN2514m2m2424m417m241|m|1m,424m217m2........................................14分1|m|111t11令，mt|m|[2,)SMNS2m24924m1724t924tm2t，1∵S在t[2,)上单调递减，∴S，.........................................16分MNSMNS25当且仅当t2,m1,时取等号.1故MNS面积的最大值为.........................................17分2519.解：（1）由题意得a1a2an4，则1124或134，故所有4的1增数列有数列1,2,1和数列1，3.............................................3分（2）当n5时，因为存在m的6增数列，*所以数列{an}的各项中必有不同的项，所以m6且mN.4{#{QQABCQKEogAAAIJAARgCUQGACEEQkBCAAIoGhBAEsAAACBNABAA=}#}若m6，满足要求的数列{an}中有四项为1，一项为2，所以k4，不符合题意，所以m6.若，满足要求的数列中有三项为，两项为，符合的增数列m7{an}12m6.所以，当n5时，若存在m的6增数列，m的最小值为7..........................8分（3）若数列{an}中的每一项都相等，则k0，若k0，所以数列{an}中存在大于1的项，若首项a11，将a1拆分成a1个1后k变大，所以此时k不是最大值，所以a11.当i2,3,...,n时，若aiai1，交换ai,ai1的顺序后k变为k1，所以此时k不是最大值，所以aiai1.若ai1ai0,1，所以ai1ai2，所以将ai1改为ai11，并在数列首位前添加一项1，所以k的值变大，所以此时k不是最大值，所以ai1ai0,1.若数列{an}中存在相邻的两项ai2,ai13，设此时{an}中有x项为2，将ai1改为2，并在数列首位前添加ai12个1后，k的值至少变为k1，所以此时k不是最大值，所以数列{an}的各项只能为1或2，所以数列{an}为1,1,...,1,2,2,,2的形式.设其中有x项为1，有y项为2，因为存在100的k增数列，所以x2y100，所以kxy1002yy2y2100y2(y25)21250，所以，当且仅当x50,y25时，k取最大值为1250..........................17分5{#{QQABCQKEogAAAIJAARgCUQGACEEQkBCAAIoGhBAEsAAACBNABAA=}#}