柳州市2024届高三第三次模拟考试数学（考试时间120分钟满分150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有90%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，80%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A．B．C．D．2．已知是虚数单位，若为实数，则实数的值为（）A．1B．C．0D．3．已知，则（）A．B．C．2D．34．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为，已知太阳的星等是，天狼星的星等是，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A．B．10.1C．D．5．从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有（）A．60种B．48种C．30种D．10种6．已知是半径为2的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为（）A．B．C．D．10．椭圆的离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点（）A．必在圆内B．必在圆上C．必在圆外D．与圆的关系与有关8．设函数是定义在上的奇函数，且对于任意的，都有，若函数，则不等式的解集是（）A．B．C．D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．若，则（）A．B．C．D．10．设是至少含有两个元素的集合，在上定义了一个二元运算“*”（即对任意的，对于有序元素对，在中有唯一确定的元素与之对应）．若对任意的，有，则对任意的，下列等式中恒成立的是（）A．B．C．D．11．正三棱柱中，，点满足，其中，则（）A．当时，与平面所成角为B．当时，有且仅有一个点，使得C．当时，平面平面D．若，则点的轨迹长度为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．若是偶函数，则_________。13．已知过原点的一条直线与圆相切，且与抛物线交于两点，若，则_________。14．在中，角的对边分别为的平分线交于，且，则的最小值为_________。四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面是中点。（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值。16．已知数列满足：。（1）求数列的通项公式；（2）对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，求数列的前项和。17．某企业为了对一批新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据，如下表所示：试销单价（百元）123456产品销量（件）9186787370附：参考公式：，参考数据：（1）求的值；（2）已知变量具有线性相关关系，求产品销量（件）关于试销单价（百元）的线性回归方程（计算结果精确到整数位）；（3）用表示用正确的线性回归方程得到的与对应的产品销量的估计值，当销售数据的残差的绝对值时，则将销售数据称为一个“有效数据”，现从这6组销售数据中任取2组，求“有效数据”个数的分布列和期望。18．已知函数（1）求函数在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）若为的导函数，设。证明：对任意19．是一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限，且。（1）求动点的轨迹方程；（2）设，过点的直线与曲线交于两点（点在轴上方）。为直线的交点，当点的纵坐标为时，求直线的方程。柳州市2024届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准2024.3一、选择题12345678CDCACBAD二、多选题91011选1个（A或C选2个（AC）选1个（B或C或D）选2个（BC或BD或CD选3个（BCD）选1个（A或C或D）选2个（AC或AD或CD）选3个（ACD）3分6分2分4分6分2分4分6分三、填空题12．13．314．18四、解答题15．（1）平面1分四边形为正方形，平面2分又平面．3分为中点，4分平面．5分（2）两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设6分则7分设平面的法向量则，令，得9分平面，故平面的法河量11分12分二面角的余弦值为13分16．解：（1）当时，由，得1分当时，3分两式相减，得4分5分当时，6分综上可知，7分（2）由题意8分9分12分14分15分18．（1）由，得，1分解得．3分（2）4分而，，6分7分所求的线性回归方程为：8分（3）由（2）可知，，9分故有效数据为10分的取值可能为0，111分12分13分则的分布列为0115分注：若第（2）问代整数计算：7分所求的线性回归方程为：8分由（2）可知，，9分故有效数据为10分的取值可能为11分12分13分则的分布列为01215分18．（1）1分3分函数在点处的切线方程为：3分（2）函数的定义域为令4分当时，，故在单调递减5分，6分当时，单调递增当时，单调递增的单调递增区间为，单调递增区间为8分（3）10分令11分当时，单调递增；当时，单调递减13分14分令当时，单调递增，故15分16分17分19．（1）设，直线的倾斜角为，则1分3分4分5分由于位于第一象限，位于第四象限，所以的轨迹方程7分（2）设8分联立：，化简得：9分直线，直线10分联立消去得：13分又14分15分故点，直线的斜率为：联立，消去化简得：故直线的方程为17分