长沙市一中2024届高三月考试卷(七)数学试卷一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.样本数据15、13、12、31、29、23、43、19、17、38的中位数为()(A)19(B)23(C)21(D)18{}22.已知集合A=xex−2x⩽1,B={−1,0,1},则集合A∩B的非空子集个数为()(A)4(B)3(C)8(D)73.已知实部为3的复数z满足z·(1−2i)为纯虚数,则|z|=()√335√(A)2(B)(C)(D)522∗4.已知数列{an}满足an=3n−b(n∈N,b∈R),则“b<3”是“{|an|}是递增数列”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件sin2θ5.已知tanθ=2,则=()2cos2θ+4sin2θ12(A)(B)2(C)1(D)396.过抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点F的直线交E于点A,B,交E的准线l于点C,AD⊥l,点D为垂足.若F是AC的中点,且|AF|=3,则|AB|=()√√(A)4(B)23(C)32(D)37.已知双曲线C:kx2−y2=1的左焦点为F,P(3m,−4m)(m>0)为C上一点,且P与F关于C的一条渐近线对称,则C的离心率为()√5√√(A)(B)3(C)2(D)528.已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x)+f(3−x)=4,f(x)的导函数为g(x),函数y=g(x−1)的图象关()3于点(2,1)中心对称,则f+g(2024)=()2(A)3(B)−3(C)1(D)−1二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.119.已知函数f(x)=cos2x+sin2x,则()(2)2π(A)函数fx−关于原点对称8πkπ(B)曲线y=f(x)的对称轴为x=+,k∈Z1221{#{QQABAQ4UogAAAoBAABgCAQUwCgAQkBAAAIoGgEAEMAAACQFABAA=}#}()π5π(C)f(x)在区间,单调递减88(D)曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为2x−2y+1=02π10.已知二面角A−CD−B的大小为,AC⊥CD,BD⊥CD,且CD=1,AC+BD=2,则()3(A)△ABD是钝角三角形(B)异面直线AD与BC可能垂直√√3(C)线段AB长度的取值范围是[2,5)(D)四面体A−BCD体积的最大值为411.甲、乙两同学参加普法知识对抗赛,规则是每人每次从题库中随机抽取一题回答.若回答正确,得1分,答题继1续;若回答错误,得0分,同时换成对方进行下一轮答题.据经验统计,甲、乙每次答题正确的概率分别是和22,且第1题的顺序由抛掷硬币决定.设第i次答题者是甲的概率为P,第i次回答问题结束后中甲的得分是K,3ii则()15(A)P=(B)P(K=1)=24224111(C)P=P+(D)E(K)=P+K−(i⩾2)i+16i3i2ii1三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.(x+3y)(x−y)8的展开式中x3y6的系数为.13.已知动点P在圆M:(x−m+1)2+(y−m)2=1上,动点Q在曲线y=lnx上.若对任意的m∈R,|PQ|⩾n恒成立,则n的最大值是.√√14.已知正六棱锥的高是底面边长的23倍,侧棱长为13,正六棱柱内接于正六棱锥,即正六棱柱的所有顶点均在正六棱锥的侧棱或底面上,则该正六棱柱的外接球表面积的最小值为.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.盒中有形状、大小均相同的卡片6张,卡片依次标记数字1,2,2,3,3,3.(1)若随机一次取出两张卡片,求这两张卡片标记数字之差为1的概率;(2)若每次随机取出两张卡片后不放回,直到将所有标记数字为2的卡片全部取出,记此时盒中剩余的卡片数量X,求X的分布列和E(X).16.如图三棱锥P−ABC中,PA=BC,AB=PC,AC⊥PB.(1)证明:AB=BC;√(2)若平面PAC⊥平面ABC,AC=2AB,求二面角A−PB−C的余弦值.PACB2{#{QQABAQ4UogAAAoBAABgCAQUwCgAQkBAAAIoGgEAEMAAACQFABAA=}#}17.已知定义在(0,π)上的函数f(x)=cos2x+sinx.(1)求f(x)的极大值点;1(2)证明:对任意x∈(0,1),f(x)>x4−x2+1.4x2y2#»#»#»#»18.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的上、下顶点分别为A(0,1),B(0,−1),其右焦点为F,且FA·BA=FA·FB.a2b2(1)求椭圆C的方程;#»#»#»2(2)若点P(2,−1),在直线BP上存在两个不同的点P1,P2满足PP1·PP2=PB.若直线AP1与直线AP2分别交C于点M,N(异于点A),证明:P,M,N三点共线.19.定义△ABC三边长分别为a,b,c,则称三元无序数组(a,b,c)为三角形数.记D为三角形数的全集,即(a,b,c)∈D.√√√(1)证明:“(a,b,c)∈D”是“(a,b,c)∈D”的充分不必要条件;#»#»#»(2)若锐角△ABC内接于圆O,且xOA+yOB+zOC=0,设I=(x,y,z)(x,y,z>0).①若I=(3,4,5),求S△AOB:S△AOC;②证明:I∈D.3{#{QQABAQ4UogAAAoBAABgCAQUwCgAQkBAAAIoGgEAEMAAACQFABAA=}#}