2023学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。12345678CBBAACDA二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．ABC10．ACD11．BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。3√1712．y＝√3x＋2或y＝√3x－2（写出一个即可）13．2√214．17四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）解（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d．由S4＝4S2，a2n＝2an＋1，得4푎+6푑＝8푎+4푑；{11푎1+(2푛−1)푑＝2푎1+2(푛−1)푑+1，解得a1＝1，d＝2．所以an＝2n－1（n∈N*）．…………6分（2）由（1）知，(2n－1)bn＝(2n＋3)bn＋1，푏2푛−1即푛+1=，利用累乘法：푏푛2푛+3푏푛푏푛−1푏22푛−32푛−531所以bn＝∙∙⋯∙∙푏1=∙∙⋯∙∙∙3푏푛−1푏푛−2푏12푛+12푛−1759911＝=(−)．(2푛−1)(2푛+1)22푛−12푛+1n919所以bk＝(1−)<．…………13分k122푛+12第1页（共4页）16．（15分）푎−(푥+1)2+푎+1解（1）因为f′(x)＝−푥＝，푥+2푥+2（ⅰ）当a≤－1时，f(x)在(－2，＋∞)单调递减；（ⅱ）当－1＜a＜0时，当x∈(－2，－√푎+1－1)，f′(x)＜0．当x∈(－√푎+1−1，√푎+1－1)，f′(x)＞0．当x∈(√푎+1－1，＋∞)，f′(x)＜0．所以f(x)在(－2，－√푎+1－1)单调递减，在(－√푎+1−1，√푎+1－1)单调递增，在(√푎+1－1，＋∞)单调递减；（ⅲ）当a≥0时，f(x)在(－2，√푎+1－1)单调递增，(√푎+1－1，＋∞)单调递减．…………7分（2）（i）由（1）知－1＜a＜0．…………9分（ii）由（1）知f(x)极大值为f(√푎+1－1)，1因为f(－1)＝aln(√푎+1+1)−(√푎+1−1)2＜0，√푎+122414又因为푓(푒푎−2)＝4−(푒푎−2)＞0．2所以函数f(x)有且只有一个零点．…………15分17．（15分）z解（1）在△DCM中，由余弦定理可得DM＝√3，222P所以DM＋DC＝CM，所以∠MDC＝90°，Q所以DM⊥DC．又因为DC⊥PD，所以DC⊥平面PDM．x所以DC⊥PM．yD显然，四边形PQBM为平行四边形，所以PM∥QB．EAC又AB//DC，所以AB⊥BQ，MB所以∠ABQ＝90°．……………6分（2）因为QB⊥MD，所以PM⊥MD，所以PM⊥平面ABCD．取AD中点E，连接PE，设PM＝h．设多面体ABCDPQ的体积为V，115则V＝V三棱柱ABQ－PEM＋V四棱锥P－CDEM＝S△QAB×＋S四边形CDEM×h＝．√332解得PM＝h＝3√3．………………9分建立如图所示的空间直角坐标系，则A(－√3，2，0)，B(－√3，1，0)，C(√3，－1，0)，第2页（共4页）D(√3，0，0)，P(0，0，√3)，Q(－√3，1，3√3)，M(0，0，0)．则平面QAB的一个法向量n＝(1，0，0)．所以퐶퐷⃗⃗⃗⃗⃗＝(0，1，0)，푃퐷⃗⃗⃗⃗⃗＝(√3，0，－3√3)，设平面PCD的一个法向量m＝(x，y，z)，则풎∙퐶퐷⃗⃗⃗⃗⃗=0，푦=0，{即{取m＝(3，0，1)．풏∙푃퐷⃗⃗⃗⃗⃗=0，√ퟑ푥−3√3푧=0，|푚∙풏|所以cosθ＝＝3√10．|풎|∙|풏|10所以平面PAD与平面PMD夹角的余弦值为3√10．………………15分1018．（17分）22解（1）设P(x0，y0)是椭圆上一点，则x0＋4y0＝4．341因为|PM|＝√(푚−푥)2+푦2=√(푥−푚)2−푚2+1，（－2≤x≤2）．004033031①若0＜m≤，|PM|＝√1−푚2＝1，2min3解得m＝0（舍去）．………………………3分33②若m＞，|PM|＝√∙4−4푚+푚2+1＝1，2min4解得m＝1（舍去）或m＝3．所以M点的坐标位（3，0）．………………………6分（2）（i）设直线l：x＝ty＋3，C(x1，y1)，D(x2，y2)．푥=푡푦+322由{푥2，得(t＋4)y＋6ty＋5＝0．+푦2=146푡5所以y＋y＝－，yy＝．12푡2+412푡2+46所以y＋y＝－tyy①12512由△＝16t2－80＞0，得t＞√5或t＜－√5．푦易知直线AC的方程为y＝1(x＋2)②푥1+2푦直线BD的方程为y＝2(x＋2)③푥2−2푥+2(푥+2)푦(푡푦+5)푦푡푦푦+5푦联立②③，消去y，得=12=12=122④푥−2(푥2−2)푦1(푡푦2+1)푦1푡푦1푦2+푦15−(푦+푦)+5푦푥+26122联立①④，消去ty1y2，则=5＝－5．푥−2−(푦+푦)+푦612144解得x＝，即点G在直线x＝上．……………………13分33（ii）由图可知，CG⊥DG，即AG⊥BG．所以点G在以AB为直径的圆上．第3页（共4页）442设G(，n)，则()＋n2＝4，3325425所以n＝±√，即G(，±√)．3335故直线AC的方程为y＝±√(x＋2)，5直线AC的方程与椭圆方程联立，得9x2＋16x－4＝0．412解得x等于－2．所以x＝－∙−=，AC92945所以y＝±√．C945故k＝k＝±√．…………………17分lMC2519．（17分）13解（1）因为Y~B(3，p)，所以p的值为或．44（i）表格如下k0123272791푃1(Y＝k)464646464192727푃3(Y＝k)464646464…………………5分푘푘3−푘（ii）由题知Pp(Y＝k)＝C3푝(1−푝)．13当y＝0或1时，参数p＝的概率最大；当y＝2或3时，参数p＝的概率最44大．1，푦＝0，1.4所以푝̂＝{3………………11分，푦＝2，3.4nn（）对对数似然函数进行求导，＝11，2l′(p)Xi−(1Xi)푝i11−푝i111因此似然方程为−＝0，푝1−푝1解上面的方程，得푝̂＝，푛因此，用最大似然估计的参数푝̂与频率估计概率的푝̂是一致的，故用频率估计概率是合理的．………………17分第4页（共4页）