2024年高三一模数学试题参考答案一、选择题：1．B2．A3.D4.B5.C6．A7.C8．D8.【参考解析】因为，，所以，��????�????�2≤�<��=��=�设，则，????�1−????�'2令��=�，�则≥2�，�令=�，则，''所以��>在0上2<单�调<递�增，在��<0上单�调>递�减，因为��2,�，�,+4∞，，????22����所以�2=�4=，2故≤选�：114.【�参考解析】如图所示．由题意2得球O的球心为底面△BCD的26中心，设正四面体A－BCD的棱长为a，则球O的半径，所以，3�3��=3��1=�=3由于OA⊥OB，所以，223�6�在Rt△ABO中，过�O�作=AB的�垂−线3OH，=31学科网（北京）股份有限公司11则OH·AB＝OB·OA，则，22��∙????2�????=��=3利用勾股定理BH2＋OH2＝OB2，得，同理，所以，��2�11BB12AB11????=3��=3��=3因为＝，＝，AB3AB3三棱锥12626所以＝，三棱台B1C1D1－BCD的体积三棱台－＝V三棱锥A－BCD＝�三棱锥�−�1�1�1272727111��−����������所以三棱锥故答案为：三V棱台A−B1C1D111四、V解答−题B1：C1D1本−B题CD=共256小题，共7276分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13分）x2aex2xaex211aex2x1x1x1ae1解：（1）因为fx，......3分x2xx2x2x2x21a11由已知f2，即，....................4分444解得a2....................5分x12ex21（2）a2则fx0，x2解得x1或x2ln2....................7分当0x1时，x10，2ex210，则fx0；....................8分当1x2ln2时，x10，2ex210，则fx0；....................9分当x2ln2时，x10，2ex210，则fx0，....................10分所以fx的单调递增区间为0，1和2ln2，，....................11分减区间为1，2-ln2...................12分2函数fx的极大值为f11....................13分e16.（15分）解:（1）证明：在中，由，，得，所以，...................3分△���1��=�1�=2��1=2又因为2平2面2��+�1�=��1��⊥�1�所以...................4分��⊥��1�所以平面...................5分��⊥��所以平面平面...................6分��⊥��1�1BB（2）解在�三��棱⊥柱���中，取1的中点，连接，111���−����2��,��在中，由，，得CDBB1，，...................7分且△���1,得��=�1，�=即∠2��为1二=面2角�的�平=面1角，...................8分在��=A中�1，AD∠⊥BB1��，�解得�−�，�.1.−..�.1..............9分��△����????���=��=3��=3BCCB由（1）知，平面，1，以为原点，A直C线⊥BB1C分别为轴，如图建立空间直角坐标系，1�，B(0,�2�,0,)�，�,????�，,�,��(0,=0,3)，�1(2,0,0)，��1(2,−20),...................11分�1�1=��=(0,2,0)设平面的法向量为，��1=(2,0,−3)则��1�1�=，(�,�,�)�⋅��1=2�−3�=0令，得，...................12分�⋅�1�1=2�=0设直线与平面所成的角为，�=3�=(3,0,2)则��1��1�1�，...................14分|�⋅��1|630�????�=|????�⟨�,��1⟩|=|�|⋅|��1|=5⋅2=10所以与平面所成的角的正弦值为....................15分3011117.（��15分）���10解：（1）每部电影至少有一人去看，五名同学去看三部电影所有可能情况有C2C253333种，...................2分2A3C5A3150A2只有甲、乙看《热辣滚烫》的共有22种，...................4分C3A2661只有甲、乙去看《热辣滚烫》电影的概率p；...................6分115025（2）设去看《热辣滚烫》的人数为，的可能取值为1，2，3C1(C2C2C3A2)707P154242，...................8分15015015C2C2A2602P2532，...................10分1501505C3A2202P352，...................12分15015015随机变量的分布列为：3学科网（北京）股份有限公司123722P15515...................13分7225所以的数学期望E123,1551535即这五个人去看《热辣滚烫》的人数的数学期望为...................15分318.（17分）解：（）证明：焦点，1F2,0H4,0,设（）,（）,直线Ax1,y1Bx2,y2l:x=my+2假设在x轴上存在点Ct,0，使得CACB是定值，xmy2联立方程22x2y8，消去x得：m22y24my40，...............3分4myy12m22根据韦达定理得：4，...................4分yy12m22CACBx1t,y1x2t,y2x1tx2ty1y2my12tmy22ty1y222m1y1y2m2ty1y22t44m2m21m2t2tm22m22t28m22t28t4...................6分m22若使CACB为定值，即使上式的值与m无关，t2815则，解得：t，...................7分2t28t4225即在x轴上存在定点C,0，使得CACB是定值....................8分24（2）方法一：yy2m2m4设AB的中点为Ex,y，则y12，xmy2m2，即0002m2200m22m2242mE,，...................9分m22m222m4AB的中垂线方程为ymx，...................10分m22m2222令y0，得x，所以M,0...................11分Mm22m22224m4AB1m2yy1m2yy4yy1m24121212m22m22421m2化简得：AB，...................13分m222421m2ME1m2xx1m2，...................14分MEm22m22m22441m21m2NE1m2xx1m24，...................15分NEm22m222222221m41m1m81m12，...................16分MENE222ABm2m2m224根据相交弦定理得A,M,B,N四点共圆....................17分方法二：因为，MAx1xM,y1yMNAx1xN,y1yNMANAx1xMx1xNy1yMy1yN...................10分my12xMmy12xNy1yMy1yN22m1y14xMxNmyMyNy12xM2xNyMyN2224mm14m1m21yy1m221m22224m4m1y1y1m22m225学科网（北京）股份有限公司2m12m22y4my4，...................14分m221122因为y1是方程m2y4my40的一个根，所以22，...................15分m2y14my140因此MANA0，即MAN90，根据四边形AMBN的对称性知MBN90，...................16分所以A,M,B,N四点共圆....................17分19.（17分）解：（1）证明：设，nπbn=an+cos2因����∗????+1=????+2+????�2+�????2�∈�...................2分n+1π����n+1πbn+1=an+1+cos2=????+2+????�2+�????2+cos2������=????+2+????�+�????−�????...................3分222��=an+cos2+2=bn+2又因,πb1=a1+cos2=2是以为首项，以为公差的等差数列,��an+cos222则,��an+cos2=2�，��????=2�−????�2取等差数列，，则...................4分��????????=−2�????+????=−????�2因是周期为4的数列，��????�2当时，，∗���=4��∈�????�2=1当时，∗���=4�−1�∈�????�2=0当时，，∗���=4�−2�∈�????�2=−1当时，,...................5分��3∗�=4�−�∈�????�2=06，即∗元素的个数为3，????+????�∈�=−1,1,0数列具有∗性质....................6分????+????�∈�（2）