长春市2024届高三质量监测（三）数学一、单项选择题：12345678CABDDDAC二、多项选择题：91011ADABCACD三、填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上）243121n12.13.214.40；252四、解答题：15.（本小题满分13分）【试题解析】（1）因为asinB3bcosA，由正弦定理可得sinABBAsin3sincos…………………………………………3分2sinB0，所以sinAA3cos，故tanA3，A……………………6分3（2）由题意可知SSSABDACDABC，1112即csinbsinbcsin，化简可得bcbc，………………………9分232323b2c2a2(bc）22bca21在△ABC中，由余弦定理得cosA2bc2bc2(bc)22bc201从而，解得bc5或bc4（舍）…………………………12分22bc1153所以SbcsinA5sin120……………………………………13分ABC22416.（本小题满分15分）x1x1【试题解析】（1）当a0时，fx()，则fx()，f(1)0，f(1)，exexe1所以切线方程为y………………………………………………………………3分e1ex2x（2）当a1时，f(x)xexxe，f(x)(1x)exxe………………4分ex令g(x)1xe2x，gx()12e2x0故gx()在R上单调递减，而g(0)0，因此0是在上的唯一零点即：是fx()在上的唯一零点……………………………………………………6分数学答案第1页（共5页）当x变化时，fx()，fx()的变化情况如下表：(,0)0(0,)极大值fx()的单调递增区间为：；递减区间为：………………………8分的极大值为f(0)1，无极小值.……………………………………………9分xexxe1x1（3）由题意知xexaex≤ex1，即a≥，即a≥，exee2xx1e22xx2xe12x设mx()，则mx，…………………………11分ee2x()ee2xx221令mx()0，解得x，21当x(,),m(x)0,m(x)单调递增，21当x(,),m(x)0,m(x)单调递减，21111所以m()()xm，…………………………………………14分max22ee2e1所以a≥.………………………………………………………………………15分2e17.（本小题满分15分）xy22【试题解析】（1）双曲线3xy22可化为1，……………………1分311232S△|FF||AB|(2)412，即3.…………4分ABF12122333y2双曲线C的标准方程为x21.……………………………………………………………5分3（2）设直线l的方程为xty2（t0），A(,)x11y，B(,)x22y，33xy22联立双曲线C与直线l：消去x可得：(3t221)y12ty90，xty212t9因此yy，yy.…………………………………………………………7分1231t21131t2426t进而可得xx，即AB中点M为(,)，………………9分1231t23tt22131数学答案第2页（共5页）62t线段AB的中垂线为yt()x，………………………………10分3tt22131886t26则D(,0)，即|DF||2|||.…………………………12分31t223tt2213112tt9626||1()4ABt2yy2yy1()4t22||，12123t213t213t21………………14分||DF即2为定值1.…………………………………………………………………15分||AB18.（本小题满分17分）【试题解析】（1）方法一：12ABAB,AAABAAAD222………………………………2分1121121DAADAA12111DPDAAP(1)AB()AD(1)AA…………………………4分1122111DPAC[(1)AB()AD(1)](AAABAD)11222211(1)AB()AD(1)ABAA(1)ADAA2211118(1)8()4(1)022D1PAC,即D1PAC.………………………………………………………………7分（1）方法二：以底面ABCD的中心O为原点，以OM方向为y轴，过O点平行于AD向前方向为x轴，以过点垂直平面ABCD向上方向为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设正四棱台的高度为h，则有A2,2,0，B2,2,0，C2,2,0，2222D2,2,0，Ah,,，Ch,,，11222222Dh,,，M0,2,0122AC22,22,01223232AP(1)0,22,022,0,0,,0,22,h22222数学答案第3页（共5页）322DA,,h12232323232DPDAAP,,hh………………………………5分112222故ACD1P0，所以D1PAC…………………………………………………………7分（2）设平面ABCD的法向量为n0,0,13232设平面的法向量为mx,,yz，AM2,22,0，AC,,hAMC11222xy220AMm0则有，即3232，AC1m0xyhz022令xh22，则m22hh,2,3………………………………………………………………………9分33又题意可得cosmn,，可得h2……………………………………11分8hh2229724224因为，经过计算可得P0,0,，D,,2，DP2,2,……13分1133223将代入，可得平面的法向量m42,22,3……………………………15分设直线DP与平面AMC1所成角的为8442413sincosDP,m…………………………………17分1691223289919.（本小题满分17分）192.2100.4【试题解析】（1）剔除第10天数据后的yy2.4，新i99i11299t5ty118.73100.4114.73；新ii9i1新9114.73952.4673t2238510285所以bi2859526000i1新67311035故a2.45，所以yx0.111.84.60006000据此可估计第10天的正常销量约为2.94千张.…………………………………………4分数学答案第4页（共5页）23222319（2）由题意可知PPPn3，其中P，P…6分n55n12n152555253则PPPPn3，…………………………………………………8分nn15n1n219293所以PP是以首项为PP，公比为的等比数列，nn12125525593n2故成立，则有PnnP1n225501n29333PPPPPPnn1n1n2...2125555n2331n1955939…………………10分2534054015n1nn1939935533故，即分PPn1Pn=…………12405404058885nn53353319（）①当为偶数时，单调递减，最大值为；3nPn0P288588525nn5335332当为奇数时，单调递增，最小值为；nPn0P18858855192综上：数列P的最大值为，最小值为.………………………………14分n2558②证明：对任意0总存在正整数N03[log()]1，（其中[]x表示取整函数）538当n[log3()]1时，538log()533333333|P||()||()|nn()5.……………………………………17分n8858585数学答案第5页（共5页）