第九届湖北省高三(4月)调研模拟考试数学试卷命题单位：襄阳市教育科学研究院2024.4本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟.祝考试顺利注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知A={x|x²-3x+2<0},B={x|12}D.{a|a≥2}2.已知点A(1,1),B(4,2)和向量a=(2,λ),若(aAB,则实数λ的值为A.−23B.23C.−32D.323.若1,a,3成等差数列,1,b,4成等比数列,则a/b的值为A.±12B.12C.1D.±14.双曲线x2−y23=1两渐近线的夹角为A.π/3B.2π3C.π/6D.5π65.已知f(x)是奇函数,当x≥0时,fx=e²ˣ−1(其中e为自然对数的底数)，则fln13=A.3B.-3C.8D.-86.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则“a=b”是“acosB=bcosA”[的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.球类运动对学生的身心发展非常重要.现某高中为提高学生的身体素质，特开设了“乒乓球”，“排球”，“羽毛球”，“篮球”，“足球”五门选修课程，要求该校每位学生每学年至多选3门，高一到高三三学年必须将五门选修课程选完，每门课程限选修一学年，一学年只上学期选择一次，则每位学生的不同的选修方式有A.210种B.78种C.150种D.144种8.在三棱锥P-ABC中,平面ABC⊥平面PBC,△ABC和△PBC都是边长为23的等边三角形，若M为三棱锥P-ABC外接球上的动点，则点M到平面ABC距离的最大值为A.6−2B.6+2C.5−1D.5+1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在复数范围内关于x的实系数一元二次方程x²+px+2=0的两根为x₁,x₂,其中x₁=1+i,则A.p=2B.x₂=1−iC.x1⋅x2=−2iD.x1x2=i10.已知a>b>0,a+b=1.则下列结论正确的有A.a+b的最大值为2B.2²ᵃ+22b+1的最小值为42C.12a+b+4a+2b的最小值为3D.a+sinb<111.已知抛物线y²=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为C，过点C的直线l与抛物线交于A，B两点，A点位于B点右方，若∠AFB=∠CFB，则下列结论一定正确的有A.|AF|=8B.|AB|=873C.SAFB=1633D.直线AF的斜率为3三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.设函数f(x)=sin(x+φ)+cos(x+φ)对任意的x(x∈R)均满足f(-x)=f(x),则tanφ=.13.已知x，y之间的一组数据：x0149y12.985.017.01若y与x满足回归方程.y=bx+a,则此曲线必过点.14.若当Δx→0时,fx0+Δxy0−fx0y0Δx无限趋近于一个确定的值，则称这个确定的值为二元函数z=f(x,y)在点(x₀,y₀)处对x的偏导数,记为f'ₓx₀y₀,即f'ₓx₀y₀=limΔx→0fx0+Δxy0−fx0y0x;若当Δy→0时,无限趋近于一个确定的值，则称这个确定的值为二元函数z=f(x,y)在点(x₀,y₀)处对y的偏导数,记为f'yx0y0,即f'yx0y0=limΔy→0fx0y0+Δy−fx0y0Δy.已知二元函数.fxy=x²−2xy+y³,则f'x(m,n)+f'y(m,n)的最小值为.四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.(本小题13分)已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中,AC=AA₁=4,BC=2,∠ACB=90°,A₁B⊥AC₁.(1)求证:平面A₁ACC₁⊥平面ABC;(2)若∠A1AC=60°,且P是AC的中点,求平面BA₁P和平面A₁ACC1的夹角的大小.16.(本小题15分)襄阳市某中学一研究性学习小组为了了解襄阳市民每年旅游消费支出费用(单位：千元)，寒假期间对游览某签约景区的100名襄阳市游客进行随机问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表：组别(支出费用)[0,2)[2,4)[4,6)[6,8)[8,10)[10,12)[12,14)[14,16]频数34811412085(1)从样本中随机抽取两位市民的旅游支出数据，求两人旅游支出均不低于10000元的概率；(2)若襄阳市民的旅游支出费用X近似服从正态分布N(μ,σ²),μ近似为样本平均数x(同一组中的数据用该组区间的中间值代表)，σ近似为样本标准差s，并已求得s≈3，利用所得正态分布模型解决以下问题：(i)假定襄阳市常住人口为500万人，试估计襄阳市有多少市民每年旅游费用支出在15000元以上;()若在襄阳市随机抽取3位市民，设其中旅游费用在9000元以上的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和均值.附：若X~N(μ,σ²),则Pμ−σ≤X∈μ+σ≈0.6827,Pμ−2σ≤X≤μ+2σ≈0,9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.17.(本小题15分)已知函数.fx=ln1+x+ax²−xa0).(1)讨论f(x)的单调区间;(2)若函数gx=x−ln1+x,α∈0π2.证明：gsinα+gcosα<12.18.(本小题17分)如图，四边形OFHG(O为坐标原点)是矩形，且OF=2,OG=3,点E0−3,点Ai,Bii=123⋯n−1)分别是OF,FH的nn≥2等分点，直线EAi和直线GBᵢ的交点为Mi.(1)试证明点.Mii=123⋯n−1在同一个椭圆C上，求出该椭圆C的方程；(2)已知点P是圆x²+y²=7上任意一点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别是A,B,求△PAB面积的取值范围.注：椭圆x2a2+y2b2=1ab>0)上任意一点(Qx₀y₀处的切线方程是：x0xa2+y0yb2=1.19.(本小题17分)在如图三角形数阵中，第n行有n个数，aij表示第i行第j个数，例如，a₄₃表示第4行a₄₃第3个数.该数阵中每一行的第一个数从上到下构成以m为公差的等差数列，从第三行起每一行的数从左到右构成以m为公比的等比数列(其中：m>0).已知a11=2,a41=12a32+2,a22a21=m.(1)求m及a₅₃;(2)记aᵢⱼ除以3的余数为bij,cn=bn1+bn2+bn3+⋯+bnn,cn的前n项为Tₙ,求T₃ₙ.数学答案1234567891011DBDADCADBDBDABC113.(2.25，4)14.−1315．解：(1)在三棱柱ABC−A1B1C1中，四边形A1ACC1是平行四边形，而AC=AA1，则平行四边形A1ACC1是菱形，连接A1C，如图，则有A1C⊥AC1，因A1B⊥AC1，A1B∩A1C=A1，A1B，A1C⊂平面A1BC，于是得AC1⊥平面A1BC，…………………………………………………3分而BC⊂平面A1BC，则AC1⊥BC，由∠ACB=90∘，得AC⊥BC，AC∩AC1=A，AC，AC1⊂平面A1ACC1，从而得BC⊥平面A1ACC1，……………………………………………………………………………6分又BC⊂平面ABC，所以平面A1ACC1⊥平面ABC．…………………………………………………7分方法一：在平面A1ACC1内过C作Cz⊥AC，由(1)知平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC=AC，则Cz⊥平面ABC，以C为原点，以射线CA，CB，Cz分别为x，y轴，z轴正半轴建立空间直角坐标系，如图，…8分因∠A1AC=60∘，AC=AA1=4，BC=2，则C(0,0,0)，A(4,0,0)，B(0,2,0)，A1(2,0,23)，P(2,0,0)则有BA1=(2,−2,23)，BP=(2,−2,0)，设平面BA1P的一个法向量n=(x,y,z)，则有n⋅BA1=2x−2y+23z=0n⋅BP=2x−2y=0，解得：y=xz=0令x=1得n=(1,1,0)，而平面A1ACC1的一个法向量m=(0,1,0)，……………………………10分依题意，|cos|=n·m|n|m=12=22设平面BA1P和平面A1ACC1的夹角的夹角是θ，则cosθ=|cos|22…………………12分所以平面BA1P和平面A1ACC1的夹角是π4．…………………………………………………………13分方法二：由（1）知…………………………………………………………………………………9分……………………………………………………11分所以平面BA1P和平面A1ACC1的夹角是π4．…………………………………………………………13分解：(1)样本中总共100人，其中旅游支出均不低于10000元的有33人，所以从中随机抽取两位市民的旅游支出数据，两人旅游支出均不低于10000元的概率为P=C332C1002=33×32100×99=875；………4分(2)(i)计算x−=1×3100+3×4100+5×8100+7×11100+9×41100+11×20100+13×8100+15×5100=9，所以μ=9，σ=3，X服从正态分布N(9,32)，……………………………………………………6分P(X≥15)=P(X≥9+2×3)=12×[1−P(9−6≤X≤9+6)]≈12×(1−0.9545)=0.02275，…………………………………………………………………………………………………………8分500×0.02275=11.375(万)，估计襄阳市有11.375万市民每年旅游费用支出在15000元以上；………………………………9分(ⅱ)由(i)知，μ=9000，则P(X>9000)=12，………………………………………………………10分P(ξ=0)=C30⋅(1−12)3=18，P(ξ=1)=C31⋅12⋅(1−12)2=38，P(ξ=2)=C32⋅(12)2⋅(1−12)=38，P(ξ=3)=C33⋅(12)3=18；所以随机变量ξ的分布列为：ξ0123P18383818…………………………………………………………14分均值为E(ξ)=3×12=32． ……………………………………………………………………………15分17．解：(1)由题知，函数f(x)的定义域为(−1,+∞)，f′(x)=2ax[x−(12a−1)]1+x，………………………2分 ①当00，所以，f(x)在(−1,0)上单调递增，f(x)在(0,12a−1)上单调递减，f(x)在(12a−1,+∞)上单调递增；…………………………………………………………………………………………………………4分 ②当a=12时，有12a−1=0，f′(x)=x21+x≥0，所以f(x)在(−1,+∞)上单调递增；…………………………………………………………………6分 ③当a>12时，有−1<12a−1<0，所以，f(x)在(−1,12a−1)上单调递增，f(x)在(12a−1,0)上单调递减，f(x)在(0,+∞)上单调递增．…………………………………………………………………………………………………