专题01五大类解三角形题型-2024年高考数学大题秒杀技巧及专项训练（解析版）【题型1三角形周长定值及最值】【题型2三角形涉及长度最值问题】【题型3三角形涉及中线长问题】【题型4三角形涉及角平分线问题】【题型5三角形面积最值问题】三角形周长定值及最值：已知一角与两边乘积模型 第一步：求两边乘积第二步：利用余弦定理求出两边之和：已知一角与三角等量模型 第一步：求三角各自的大小第二步：利用正弦定理求出三边的长度最值步骤如下：第一步：先表示出周长第二步：利用正弦定理将边化为角第三步：多角化一角+辅助角公式，转化为三角函数求最值已知的内角的对边分别为，且．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求的周长．解：（Ⅰ）由已知得，，，∵，∴，，，∴，∴．（Ⅱ）第一步：求两边乘积又第二步：利用余弦定理求出两边之和∵，∴，∴，∴为等边三角形．故三角形的周长为．在中，角的对边分别为，.（1）求；（2）若，，求的周长.解：（1）求角根据，可得所以.又因为，所以.（2）第一步：求三角各自的大小，，所以，，第二步：利用正弦定理求出三边的长度因为，所以，，则的周长为.在中,角的对边分别为.(1)求;(2)若,且,求的周长.解：⑴因为，所以.又，解得.又，为锐角，所以.⑵第一步：求两边乘积因为，又，所以或者，第二步：利用余弦定理求出两边之和，即，所以周长为.在中，，且（1）求；（2）若，求的周长.解：（1）在中，则，，，，，，，由正弦定理得，，.（2）第一步：求两边乘积由（1）得，，，，，，第二步：利用余弦定理求出两边之和在中，由余弦定理得，，又，，解得（负值舍去），故.1．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．(1)证明：是锐角三角形；(2)若，求的周长．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1），由正弦定理得，整理得．由余弦定理得．，．，，，，均小于，是锐角三角形．（2），，又，，在中，由正弦定理得，即，，，的周长为．2．的内角的对边分别为．(1)求；(2)若，求的周长最小值．【答案】(1)(2)9【详解】（1）因为，由正弦定理可得，整理得，由余弦定理知，且，所以．（2）由（1）可知：，整理得，且，当且仅当时，等号成立，则，即，可得，所以的周长最小值.3．已知函数的最小正周期为．(1)求的值；(2)已知分别为中角的对边，且满足，求的周长的最大值．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为最小正周期为，所以，解得，所以，所以．（2）由得，由余弦定理有，即（当且仅当时取“=”），故，即为等边三角形时，周长有最大值4．的内角A，，的对边分别为，，，已知.(1)求；(2)若，的面积为，求的周长.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得.又，所以.因为，所以；（2）的面积，则.由余弦定理：，得，所以，故的周长为.5．在锐角中，，，(1)求角A；(2)求的周长l的范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）∵，，所以，所以，因为，所以，，所以.（2），所以,所以，，所以,因为是锐角三角形，且，所以，解得，所以，所以，所以.6．记的内角，A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．(1)求a；(2)若，求的周长l的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以，又，，所以，根据正弦定理可得，所以．（2）解法一：因为，，所以由余弦定理可得，即．因为，所以，所以，当且仅当时，取到最值又，所以，即周长l的取值范围为．解法二：由正弦定理知，，所以，，所以，因为，所以，所以,，所以,，所以,，故的周长的取值范围为,．7．设的内角所对边分别为，若．(1)求的值;(2)若且三个内角中最大角是最小角的两倍，当周长取最小值时，求的面积．【答案】(1)2(2)【详解】（1）因为，所以，因为，所以，所以，由正弦定理，得，即．（2）由可得：，故，于是，由正弦定理及余弦定理可得：，解得：(舍)或者，故，因为，所以当时，周长最小，此时，所以，所以的面积为．8．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求角的大小；(2)若，求的周长l的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：因为，可得，即，即，所以，又因为，所以.（2）解：由正弦定理，可得，所以三角形的周长，因为，可得，所以，因为，可得，所以，所以，故的周长的取值范围为.三角形涉及长度最值问题解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值在中，角所对的边分别为.若.(1)求；(2)若为锐角三角形，求的取值范围.破解：（1）第一步：因为，整理得，所以，第二步：由正弦定理得：，因为，所以，所以.（2）第一步：因为为锐角三角形，，所以，且，所以，第二步：解法，因为，所以，第三步：所以，即的取值范围是.第一步：解法，因为，所以，得，第二步：所以，即的取值范围是.在中，已知，且.(1)试确定的形状；(2)求的值．破解：（1）第一步：在中，设其外接圆半径为R，根据正弦定理得，，代入，得，所以①，第二步：因为，所以，所以，由正弦定理，得，所以②，把②代入①得，，即，所以是直角三角形；（2）第一步：由（1）知，即，所以，第二步：又，所以，所以.已知函数.在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足.(1)求A的值；(2)若，求的取值范围.破解：（1）第一步：.由，即.第二步：为锐角三角形，，..（2）第一步：由正弦定理，.，.第二步：，.第三步：是锐角三角形，，且.，，，...综上，的取值范围为.在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，为(1)求角A的大小；(2)当时，求的取值范围.破解：（1）第一步：由正弦定理得：，所以，即，第二步：因为，所以，又，所以（2）第一步：，，由正弦定理，所以，第二步：因为为锐角三角形，所以，则，所以，所以已知为锐角三角形，角的对边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若，求的取值范围.破解：（1）第一步：在中，由余弦定理得，，所以，所以，第二步：又因为为锐角三角形，所以，所以.（2）第一步：在中，由正弦定理得，，所以，第二步：因为为锐角三角形，所以，解得，所以，则，所以的取值范围为.1．在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．(1)求角B的值；(2)若，求的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，由正弦定理边化角可得，所以，又，所以，又为锐角，则；（2）由正弦定理，则，所以，，因为在锐角三角形中，得，所以，则，所以的取值范围为.2．已知的内角的对边分别为，且满足．(1)求角的大小；(2)已知是的中线，求的最小值．【答案】(1)(2)【详解】（1）因，由正弦定理，，由余弦定理，，又代入化简得，因，则（2）因是的中线，故,两边平方可得：，即，由（1）知，则，又因，即，当且仅当时等号成立，此时，即.故当时，的最小值为.3．在锐角中，已知.(1)求；(2)求的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意，根据正弦定理可得，则，展开可得，.（2）由正弦定理，则，其中，是锐角三角形，，.，，显然，当时，，.4．已知在锐角三角形中，边，，对应角，向量，，且与垂直，．(1)求角；(2)求的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为与垂直，所以，即，即，即，即，又，所以，所以，即；（2）由正弦定理得，根据三角形是锐角三角形得，解得，则，所以，所以，则，则的取值范围为.5．记△的内角的对边分别为，已知.(1)求；(2)若，求的范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）由正弦定理得，，因为，所以，所以，则，因为，所以，所以，所以.（2）因为，则，因为,所以.所以.因为.所以.所以，所以.6．已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求A；(2)若外接圆的直径为，求的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）由可得：，所以，所以，，，由正弦定理可得，因为，所以，所以，因为，所以.（2）由正弦定理可得，所以，故，又，所以，所以，又，所以，所以，所以的取值范围为.7．在中，角，，所对的边分别为，，，已知.(1)求的值；(2)若为的中点，且，求的最小值.【答案】(1)(2)【详解】（1）由正弦定理及，得，又，所以，又，∴，∴，即，又，∴.（2）由为的中点，得，而，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.8．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，．(1)若，求的面积；(2)若为钝角三角形，求a的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）由及正弦定理，则．当时，，，由余弦定理，，从而，此时的面积．（2）由于，，由三角形三边关系可得，即，解得．由于C为的最大内角，故，即，解得．由于，则．三角形涉及中线长问题①中线长定理：（两次余弦定理推导可得）+（一次大三角形一次中线所在三角形+同余弦值） 如：在与同用求 ②中线长常用方法 ③已知，求的范围∵为定值，故满足椭圆的第一定义∴半短轴半长轴中，，，，则边上的中线长_______.解：法一：两次余弦定理设，，，由余弦定理得：，所以，或（舍去），在中，，由余弦定理得：，所以.法二：一次余弦定理+一次中线长定理设，，，由余弦定理得：，所以，或（舍去），中线长定理在中，，．边上的中线，则_____．解：中线常用方法设，中，，中，，重点，解得：，，中，,,.中，，则边上中线的长为_____．解：中线常用方法由余弦定理可知：,设，由余弦定理可知：而重点即解得，故边上中线的长为．1．已知的内角的对边分别为，且满足．(1)求角的大小；(2)已知是的中线，求的最小值．【答案】(1)(2)【详解】（1）因，由正弦定理，，由余弦定理，，又代入化简得，因，则（2）因是的中线，故,两边平方可得：，即，由（1）知，则，又因，即，当且仅当时等号成立，此时，即.故当时，的最小值为.2．在①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题（其中S为的面积）.问题：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______.(1)求角B的大小；(2)AC边上的中线，求的面积的最大值.【答案】(1)(2).【详解】（1）解：若选①：在中，因为，由，可得，由正弦定理得，即，则，又因为，故.若选②：由，可得，所以，因为，所以.若选③：因为，正弦定理得，又因为，所以，即，因为，，所以，又因为，可得；综上所述：选择①②③，都有.（2）解：由，可得，所以，可得，当且仅当时取等号，  则，当且仅当时取等号，则的面积的最大值为.3．在中，(1)若，求的面积；(2)求边上的中线的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，若，则，又，所以，所以；（2）因为，由正弦定理得，所以，所以，又，所以，所以，由余弦定理得，因为，则，因为，所以，因为，所以，则，所以，所以，所以，即边上的中线的取值范围为．  4．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)若，求边上的中线的长．【答案】(1)(2)【详解】（1）∵，∴，∴，∴，即，由正弦定理可得，∵，∴，又∵，∴，∴．∴.（2）∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴.5．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．(1)求A；(2)若，求中BC边中线AD长．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，由正弦定理得，即，即，所以，又，所以，又，所以；（2）由余弦定理得，即，所以，因为为中BC边的中线，所以，则，所以.  6．在锐角中，角、、所对的边分别为、、．①；②；③．在以上三个条件中选择一个，并作答．(1)求角；(2)已知的面积为，是边上的中线，求的最小值．【答案】(1)条件选择见解析，(2)【详解】（1）解：若选①，因为，即，则，即，所以，，因为，故；若选②，原式等价于，即，即，因为、，则，所以，，则，故；若选③，原式等价于，即所以，，即，即，因为，故.（2）解：因为，所以，，因为为的中点，则，所以，，则，则，当且仅当时，即当时，等号成立.因此，长的