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湖北省第九届2024届高三下学期4月调研模拟考试(三模)数学答案
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湖北省第九届高三(4月)数学答案1234567891011DBDADCADBDBDABC112.113.(2.25,4)14.−315.解:(1)在三棱柱퐴퐵퐶−퐴1퐵1퐶1中,四边形퐴1퐴퐶퐶1是平行四边形,而퐴퐶=퐴퐴1,则平行四边形퐴1퐴퐶퐶1是菱形,连接퐴1퐶,如图,则有퐴1퐶⊥퐴퐶1,因퐴1퐵⊥퐴퐶1,퐴1퐵∩퐴1퐶=퐴1,퐴1퐵,퐴1퐶⊂平面퐴1퐵퐶,于是得퐴퐶1⊥平面퐴1퐵퐶,…………………………………………………3分∘而퐵퐶⊂平面퐴1퐵퐶,则퐴퐶1⊥퐵퐶,由∠퐴퐶퐵=90,得퐴퐶⊥퐵퐶,퐴퐶∩퐴퐶1=퐴,퐴퐶,퐴퐶1⊂平面퐴1퐴퐶퐶1,从而得퐵퐶⊥平面퐴1퐴퐶퐶1,……………………………………………………………………………6分又퐵퐶⊂平面퐴퐵퐶,所以平面퐴1퐴퐶퐶1⊥平面퐴퐵퐶.…………………………………………………7分(2)方法一:在平面퐴1퐴퐶퐶1内过퐶作퐶푧⊥퐴퐶,由(1)知平面퐴1퐴퐶퐶1⊥平面퐴퐵퐶,平面퐴1퐴퐶퐶1∩平面퐴퐵퐶=퐴퐶,则퐶푧⊥平面퐴퐵퐶,以퐶为原点,以射线퐶퐴,퐶퐵,퐶푧分别为푥,푦轴,z轴正半轴建立空间直角坐标系,如图,…8分∘因∠퐴1퐴퐶=60,퐴퐶=퐴퐴1=4,퐵퐶=2,则퐶(0,0,0),퐴(4,0,0),퐵(0,2,0),퐴1(2,0,2√3),푃(2,0,0)则有퐵⃗⃗⃗⃗⃗퐴⃗⃗⃗1=(2,−2,2√3),퐵푃⃗⃗⃗⃗⃗=(2,−2,0),푛⃗⃗⋅퐵퐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1=2푥−2푦+2√3푧=0푦=푥设平面퐵퐴1푃的一个法向量푛⃗=(푥,푦,푧),则有{,解得:{푛⃗⃗⋅퐵푃⃗⃗⃗⃗⃗=2푥−2푦=0z=0令푥=1得푛⃗⃗=(1,1,0),而平面퐴1퐴퐶퐶1的一个法向量푚⃗⃗⃗=(0,1,0),……………………………10分|푛⃗⃗·푚⃗⃗⃗|12依题意,|cos<푛⃗⃗,푚⃗⃗⃗>|===√|푛⃗⃗||푚⃗⃗⃗|√22√2设平面퐵퐴1푃和平面퐴1퐴퐶퐶1的夹角的夹角是θ,则cosθ=|cos<푛⃗⃗,푚⃗⃗⃗>|…………………12分20,=24휋所以平面퐵퐴푃和平面퐴퐴퐶퐶的夹角是.…………………………………………………………13分1114方法二:由(1)知BC⊥平面A1ACC1,而A1P平面A1ACC1高三数学答案第1页(共5页){#{QQABLQKAggioAJAAARgCQQUQCgOQkACCAKoOAFAEoAABiBFABAA=}#}A1P⊥BC在等边△A1AC中,P为AC的中点,A1P⊥AC又BCAC=C…………………………………………………………………………………9分A1P⊥平面ABC又PC,PB在平面ABC内CP⊥A1P,BP⊥A1P……………………………………………………11分BPC即为二面角B−A1P−C的平面角在Rt△BCP,CB=CD=2,BPC=4휋所以平面퐵퐴푃和平面퐴퐴퐶퐶的夹角是.…………………………………………………………13分111416.解:(1)样本中总共100人,其中旅游支出均不低于10000元的有33人,所以从中随机抽取两位市2퐶3333×328民的旅游支出数据,两人旅游支出均不低于10000元的概率为푃=2==;………4分퐶100100×9975−34811412085(2)(푖)计算푥=1×+3×+5×+7×+9×+11×+13×+15×=9,100100100100100100100100所以휇=9,휎=3,푋服从正态分布푁(9,32),……………………………………………………6分11푃(푋≥15)=푃(푋≥9+2×3)=×[1−푃(9−6≤푋≤9+6)]≈×(1−0.9545)=0.02275,22…………………………………………………………………………………………………………8分500×0.02275=11.375(万),估计襄阳市有11.375万市民每年旅游费用支出在15000元以上;………………………………9分1(ⅱ)由(푖)知,휇=9000,则푃(푋>9000)=,………………………………………………………10分2所有可能的取值为0,1,2,3.11113푃(휉=0)=퐶0⋅(1−)3=,푃(휉=1)=퐶1⋅⋅(1−)2=,328322811311푃(휉=2)=퐶2⋅()2⋅(1−)=,푃(휉=3)=퐶3⋅()3=;3228328所以随机变量휉的分布列为:휉01231331푃8888…………………………………………………………14分13均值为퐸(휉)=3×=.……………………………………………………………………………15分22高三数学答案第2页(共5页){#{QQABLQKAggioAJAAARgCQQUQCgOQkACCAKoOAFAEoAABiBFABAA=}#}12푎푥[푥−(−1)]17.解:(1)由题知,函数푓(푥)的定义域为(−1,+∞),푓′(푥)=2푎,………………………2分1+푥11 ①当0<푎<时,有−1>0,22푎11所以,푓(푥)在(−1,0)上单调递增,푓(푥)在(0,−1)上单调递减,푓(푥)在(−1,+∞)上单调递增;2푎2푎…………………………………………………………………………………………………………4分11푥2 ②当푎=时,有−1=0,푓′(푥)=≥0,22푎1+푥所以푓(푥)在(−1,+∞)上单调递增;…………………………………………………………………6分11 ③当푎>时,有−1<−1<0,22푎11所以,푓(푥)在(−1,−1)上单调递增,푓(푥)在(−1,0)上单调递减,푓(푥)在(0,+∞)上单调递增.2푎2푎…………………………………………………………………………………………………………8分1(2)由(1)知:当푎=时,푓(푥)在(0,1)上单调递增,2푥2所以,当푥∈(0,1)时,푓(푥)>푓(0)=0,即>푥−ln(1+푥)=푔(푥),………………………13分2휋훼∈(0,),sin훼∈(0,1),cos훼∈(0,1),2sin2훼+cos2훼1所以푔(sin훼)+푔(cos훼)<=.……………………………………………………………15分222푖√3푖18.解:(1)设푀(푥,푦),又퐴(,0),퐵(2,√3−)(푖=1,2,3⋯,푛−1),푖푖푛푖푛√3푛则直线퐸퐴:푦+√3=푥,①푖2푖√3푖直线퐺퐵:푦−√3=−푥,②………………………………………………………………………3分푖2푛3点푀(푥,푦)的坐标是方程①②的解,①×②可得(푦+√3)(푦−√3)=−푥2,푖4푥2푦2化简得+=1,43푥2푦2所以푀(푥,푦)在同一个椭圆上,该椭圆方程为+=1.………………………………………6分푖4322(2)设퐴(푥1,푦1),퐵(푥2,푦2),푃(푥0,푦0),则푥0+푦0=7,푥푥푦푦푥푥푦푦切线푃퐴方程为:1+1=1,切线푃퐵方程为:2+2=1,两直线都经过点P,4343푥푥푦푦푥푥푦푦푥푦所以得:10+10=1,20+20=1,从而直线퐴퐵的方程是:0푥+0푦=1,……………8分4343432当푦0=0时,푥0=7푥0푥=14296由{푥2푦2得푦=,则|퐴퐵|=|y1−y2|=+=17√7431649S=(7−)=…………………………………………………………………………9分2777当푦0≠0时,高三数学答案第3页(共5页){#{QQABLQKAggioAJAAARgCQQUQCgOQkACCAKoOAFAEoAABiBFABAA=}#}푥푦0푥+0푦=143222由{푥2푦2,消푦得:(푦0+21)푥−24푥0푥+48−16푦0=0,+=143224푥048−16푦0由韦达定理,得:푥1+푥2=2,푥1푥2=2,……………………………………………11分푦0+21푦0+21228|푦0|√푦0+924푥0248−16푦0,|푥1−푥2|=√(2)−4⋅2=2푦0+21푦0+21푦0+21228|푦0|√푦0+923푥029푥02√7(푦0+9),|퐴퐵|=√1+(−)⋅|푥1−푥2|=√1+2⋅2=24푦016푦0푦0+21푦0+2122푥0푦02|+−1|√푦0+9点P到直线퐴퐵的距离푑=43=,푥푦7√(0)2+(0)2√431127(y2+9)y2+9(y2+9)3000其中2…………………分S=ABd=2=20<푦0≤71422y0+217y0+21푡3푡3푡4+36푡2令푡=√푦2+9,则푡∈(3,4],∴푆=,令푓(푡)=,则푓′(푡)=>0,0△푃퐴퐵푡2+12푡2+12(푡2+12)2916∴푓(푡)在푡∈(3,4]上单调递增,f(t),.………………………………………………16分77916综上所述,△푃퐴퐵面积的取值范围是,.……………………………………………………17分7719.解:(1)由题意,可知푎31=푎11+푚×(3−1)=2푚+2,푎32=푎31·푚=(2푚+2)푚=2푚(푚+1),푎41=푎11+푚×(4−1)=3푚+2,11∵푎=푎+2,∴3푚+2=×2푚(푚+1)+2,412322化简整理,得푚2−2푚=0,解得푚=0(舍去),或푚=2,………………………………………………………………………4分∴푎=푎+푚×(5−1)=2+2×4=10,511122∴푎53=푎51·푚=10×2=40,……………………………………………………………………5分j−1j−1j(2)aij=ai12=2+(i−1)22=i2……………………………………………………6分jjj1j−12j−22j−1j−1j∴anj=n2=n(3−1)=n3+cj3(−1)+cj3(−1)++cj3(−1)+(−1)=n3m+(−1)j=3nm+n(−1)jj∴bnj等于n(−1)除以3的余数.…………………………………………………………………7分当j为奇数时n(−1)j=−n.①n=3k−2(kN*)时,−n=−(3k−2)=−3k+2,b(3k−2)j=2②n=3k−1(kN*)时,−n=−(3k−1)=−3k+1,b(3k−1)j=1高三数学答案第4页(共5页){#{QQABLQKAggioAJAAARgCQQUQCgOQkACCAKoOAFAEoAABiBFABAA=}#}③n=3k(kN*)时,−n=−3k,b(3k)j=0………………………………………………………8分当j为偶数时n(−1)j=n.①n=3k−2(kN*)时,n=3k−2=3(k−1)+1,b(3k−2)j=1②n=3k−1(kN*)时,n=3k−1=3(k−1)+2,b(3k−1)j=2③n=3k(kN*)时,n=3k+0,b(3k)j=0……………………………………………………9分c=b+b++b=(2+1)+(2+1)++(2+1)+2=3(3m−3)+2=9m−76m−5(6m−5)1(6m−5)2(6m−5)(6m−5)3m−3个c=b+b++b=(1+2)+(1+2)++(1+2)+(1+2)=3(3m−2)=9m−66m−4(6m−4)1(6m−4)2(6m−4)(6m−4)3m−2个c6m−3=b(6m−3)1+b(6m−3)2++b(6m−3)(6m−3)=0+0++0=0c=b+b++b=(2+1)+(2+1)++(2+1)=3(3m−1)=9m−36m−2(6m−2)1(6m−2)2(6m−2)(6m−2)3m−1个c=b+b++b=(1+2)+(1+2)++(1+2)+1=3(3m−1)+1=9m−26m−1(6m−1)1(6m−1)2(6m−1)(6m−1)3m−1个c6m=b(6m)1+b(6m)2++c(6m)(6m)=0+0++0=0………………………………………1

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