炎德·英才大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（八）数学命题人李群丽审题人陈朝阳注意事顶：1．答卷前、考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2．回答选择题时、选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动、用橡皮擦干净后、再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上、写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．定义差集，已知集合，则（）A． B． C． D．2．已知一组数据的平均数为2，方差为，则另一组数据的平均数、标准差分别为（）A． B． C． D．3．设复数满足这在复平面内对应的点为，则（）A． B． C． D．4．向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，，我们称为极化恒等式、已知在中，是中点，，则（）A． B．16 C． D．85．南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔（FlorenceNightingale）设计的，图中每个扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小，某机构统计了近几年中国知识付费用户数量（单位：亿人次），并绘制成南丁格尔攻瑰图（如图所示）、根据此图，以下说法错误的是（）A．2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加B．2015年至2022年，知识付费用户数量的逐年增加量在2018年最多C．2015年至2022年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增D．2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍6．已知函数的图像关于点中心对称，则（）A．直线是函数图象的对称轴B．在区间上有两个极值点C．在区间上单调递减D．函数的图象可由向左平移个单位长度得到7．已知点为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，设线段的中点为，且，则的面积为（）A． B． C． D．8．中国古建筑闻名于世，源远流长．如图甲所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图乙所示，在结构示意图中，已知四边形为矩形，与都是边长为2的等边三角形，若点都在球的球面上，则球的表面积为（）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．已知直线与圆：，则下列结论正确的是（）A．对，直线恒过一定点B．，使得直线与圆相切C．对，直线与圆一定相交D．直线与元相交且直线被圆所截得的最短弦长为10．已知满足，且的面积，则下列命题正确的是（）A．的周长为B．的三个内角满足关系C．的外接圆半径为D．的中线的长为11．已知．若存在，使得成立，则下列结论正确的是（）A．函数在处的切线与函数在处的切线吻合B．当时，C．当时，D．若恒成立，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．的展开式中的系数为_________。13．若，则_________。14．已知数列的通项公式为是数列的前项和，则_________。四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答、解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．（本小题满分13分）已知函数．（1）当时，求在处的切线方程（2）讨论在区间上的最小值．16．（本小题满分15分）汽车尾气排放超标是全球变暖、海平面上升的重要因素．我国近几年着重强调可持续发展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车业发展，某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表：年份20172018201920202021年份代码12315销量/万辆1012172026（1）统计表明销量与年份代码有较强的线性相关关系，求关于的经验回归方程，并预测该地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破50万辆；（2）某新能源汽车品牌销售商为了促销，采取“摸球定价格”的优惠方式，其规则为：盒子内装有编号为1，2，3的三个相同的小球，有放回地摸三次，三次摸到相同编号的享受七折优惠，三次中仅有两次摸到相同编号的享受八折优惠，其余情况均享受九折优惠，已知此款新能源汽车一台标价为100000元，设小李购买此款新能源汽车的价格为，求的分布列与均值．附：为经验回归方程，．17．（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面为梭的中点，四棱锥的体积为．（1）若为棱的中点，求证：平面；（2）在棱上是否存在点，使得平面与平面所成夹角的余弦值为?若存在．求出线段的长度；若不存在，请说明理由．18．（本小题满分17分）已知双曲线的右顶点，它的一条渐近线的倾斜角为．（1）求双曲线的方程；（2）过点（作直线交双曲线于两点（不与点重合），求证：；（3）若过双曲线上一点作直线与两条渐近线相交，交点为，且分别在第一象限和第四象限，若，求面积的取值范围．19．（本小题满分17分）已知数列为有穷正整数数列．若数列满足如下两个性质，则称数列为的减数列：①；②对于，使得的正整数对有个．（1）写出所有4的1减数列；（2）若存在的6减数列，证明：；（3）若存在2024的减数列，求的最大值．炎德·英才大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（八）数学参考答案一、二、选择题题号1234567891011答案BCDACCAAACDBCABC1．B【解析】因为，所以，所以．故选B．2．C【解析】因为一组数据的平均数为2，方差为，所以另一组数据，的平均数为，方差为．平均数、标准差分别为．故选C．3．D4．A【解析】由题设，．故选A．5．C【解析】对于A，由图可知，2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加，故A说法正确；对于B和C，知识付费用户数量的逐年增加量分别为：2016年，；2017年，年，2019年，年，；2021年，年，；则知识付费用户数量逐年增加量2018年最多，知识付费用户数量的逐年增加量不是逐年递增，故B说法正确，C说法错误；对于D，由，则2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍，故D说法正确．综上，说法错误的选项为C．故选C．6．C【解析】因为函数的图象关于点中心对称，所以，可得，结合，得，所以．对于A，，所以直线不是函数图象的对称轴，故A不正确；对于B，当时，，所以函数在区间上只有一个极值点，故B不正确；对于C当时，，所以函数在区间上单调递减，故C正确；对于D，左移个单位长度后得到，故D错误．故选C．7．A【解析】由题意可得．如图，因为分别是和的中点，所以，根据椭圆定义，可得，又因为，所以，所以，故的面积为．故选A．另法：此题用等腰三角形求高或海伦公式更快捷．8．A【解析】如图，根据球的性质可得平面，根据中位线的性质和勾股定理可得且，分类讨论当在线段上和在线段的延长线上时，由球的性质可得球半径的平方为，再用球的表面积公式计算即可．如图，连接，设，因为四边形为矩形，所以为矩形外接圆的圆心．连接，则平面，分别取的中点，根据几何体的对称性可知，直线交于点．连接，则，且为的中点，因为，所以，连接，在与，易知，所以梯形为等腰梯形，所以，且．设，球的半径为，连接，当在线段上时，由球的性质可知，易得，则，此时无解．当在线段的延长线上时，由球的性质可知，，解得，所以，所以球的表面积．故选A．9．ACD【解析】由题设，令所以直线恒过定点，A对；又的标准方程为，显然，所以点在圆内，故直线与圆必相交，B错，C对；要使直线与圆相交弦长最短，只需定点与圆心的连线与已知直线垂直，此时定点与直线距离为，又圆的半径为2，则最短相交弦长为，D对．故选ACD．10．BC【解析】因为满足所以，设，利用余弦定理，由于，所以．对于A，因为，所以，解得．所以，所以的周长为，故A不正确；对于B，因为，所以，故，故B正确；对于C，由正弦定理得外接圆半径为，故C正确；对于D，如图所示，在中，利用正弦定理，解得，又，所以，在中，利用余弦定理，解得，故D不正确．故选BC．11．ABC【解析】选项A，由，得，又验证知，切线方程都为，故A正确；选项B，，则，且，由，得，当时，，则在上递增，所以当时，有唯一解，故，，故B正确；选项C，由B正确，得，设，则，令，解得，易知在上单调递增，在上单调递减，，故C正确；选项D，由恒成立，即恒成立，令，则，由在上递增，又，存在，使，在上递减，在上递增（其中满足，即）．，要使恒成立，，存在满足题意，故D错误．故选ABC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．13．【解析】依题意，，解得，故14．【解析】因为，设所以四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解析】（1）当时，，所以时，函数在处的切线方程为．（2）．当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减，当时，函数在上单调递减，故函数的最小值为：；当时，函数在上单调递增，故函数的最小值为：；当时，函数的最小值为：．故16．【解析】（1）由题意得，．所以．所以关于的经验回归方程为，令，得，所以最小的整数为，所以该地区新能源汽车的销量最早在2028年能突破50万辆．（2）有放回地摸球，每次摸到某个编号的概率为，则三次摸到相同编号的概率为；三次中仅有两次摸到相同编号的概率为；700008000090000故．17．【解析】（1）取中点，连接分别为的中点，底面四边形是矩形，为棱的中点，，故四边形是平行四边形，．又平面平面，平面．（2）假设在梭上存在点满足题意，在等边中，为的中点，所以，又平面平面，平面平面平面，平面，则是四棱锥的高．设，则，∴，所以以点为原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，故．设，．设平面的一个法向量为，则取．易知平面的一个法向量为，故存在点满足题意．18．【解析】（1）易知，故双曲线的方程为．（2）由已知可得，直线的方程为，联立，其中，且时，则，，．（3）由题意可知，若直线有斜率则斜率不为0，故设直线方程为：，设，点在双曲线上，，，③又④联立，⑤，⑥，分别在第一象限和第四象限，，由④式得：，⑦将⑤⑥代入⑦得：，令由对勾函数性质可得在上单调递减，在上单调递增19．【解析】（1）由题意得，则或，故所有4的1减数列有数列和数列3，1．（2）因为对于，使得的正整数对有个，且存在的6减数列，所以，得．①当时，因为存在的6减数列，所以数列中各项均不相同，所以．②当时，因为存在的6减数列，所以数列各项中必有不同的项，所以．若，满足要求的数列中有四项为1，一项为2，所以，不符合题意，所以．③当时，因为存在的6减数列，所以数列各项中必有不同的项，所以．综上所述，若存在的6减数列，则．（3）若数列中的每一项都相等，则，若，所以数列存在大于1的项，若末项，将拆分成个1后变大，所以此时不是最大值，所以．当时，若，交换的顺序后变为，所以此时不是最大值，所以．若，所以，所以将改为，并在数列末尾添加一项1，所以变大，所以此时不是最大值，所以．若数列中存在相邻的两项，设此时中有项为2，将改为2，并在数列末尾添加一项1后，的值至少变为，所以此时不是最大值，所以数列的各项只能为2或1，所以数列为的形式．设其中有项为2，有项为1，因为存在2024的减数列，所以，所以，所以，当且仅当时，取最大值为512072．