2024年深圳市高三年级第二次调研考试数学试题参考答案及评分标准本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号12345678答案CABDBCCB二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。题号91011答案ABACDABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。π312．513．8π14．；(,)（注：第一空2分，第二空3分）33四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB11CC底面ABC，且ABAC，ABAC11．（1）证明：AA1平面ABC；（2）若AA1BC2，BAC90，求平面A1BC与平面A11BC夹角的余弦值．C1证明：（1）取BC的中点M，连结MA、MA1．因为ABAC，ABAC11，所以BCAM，BCA1M．A1B1由于AM，AM1平面A1MA，且AMA1MM，因此BC平面A1MA．…………………………………………………2分因为AA1平面A1MA，所以BCAA1．又因为AA1//BB1，所以B1BBC，CM因为平面BB11CC平面ABC，平面BB11CC平面ABCBC，AB且BB1平面BB11CC，所以BB1平面ABC．因为AA1//BB1，所以AA1平面ABC．…………………………………………………………6分解：（2）（法一）因为BAC90，且BC2，所以ABAC2．数学试题参考答案及评分标准第1页共7页{#{QQABLQSQgggAAJJAABgCQQ1iCEEQkAECACoOQBAMsAAByBNABAA=}#}y以AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)．所以AB1(2,0,2)，AC1(0,2,2)，AC11(0,2,0)．………………………………………8分设平面A1BC的法向量为m(,,)x1y1z1，则zC1mAB10x112z0，可得，令z11，则m(2,2,1)，mAC10yz1120A1B1设平面A11BC的法向量为n(,,)x2y2z2，则nAB10xz2220，可得，令z21，则n(2,0,1)，……12分ynAC110y20设平面ABC与平面ABC夹角为，C111M|mn|315则cos，|mn|||535ABx15所以平面A1BC与平面A11BC夹角的余弦值为．…………………………………………13分5（法二）将直三棱柱ABCA1B1C1补成长方体ABDCA1B1D1C1．连接CD1，过点C作CPC1D，垂足为P，再过P作PQA1B，垂足为Q，连接CQ.因为BD平面CDD11C，且CP平面，所以BDCP．C1D1又因为，由于BD，CD1平面A11BDC，且BDC1DD，所以CP平面．A1B1P由于AB1平面，所以A1BCP.因为CQ，PQ平面CPQ，且CQPQQ，Q所以AB1平面．CD因为CQ平面，所以CQA1B．AB则CQP为平面与平面的夹角或补角，………………………………………………11分30在△A1BC中，由等面积法可得CQ．3PQ15因为PQAC2，所以cosCQP，11CQ5因此平面与平面夹角的余弦值为．………………………………………………13分16．（15分）已知函数f(x)(ax1)ex，fx()是fx()的导函数，且f(x)f(x)2ex．（1）若曲线yf()x在x0处的切线为ykxb，求k，b的值；（2）在（1）的条件下，证明：f()xkxb．数学试题参考答案及评分标准第2页共7页{#{QQABLQSQgggAAJJAABgCQQ1iCEEQkAECACoOQBAMsAAByBNABAA=}#}解：（1）因为f(x)(ax1)ex，所以f(x)(axa1)ex，…………………………………………2分则f(x)f(x)aex．因为f(x)f(x)2ex，所以a2．…………………………………………4分则曲线yf()x在点x0处的切线斜率为f(0)3．又因为f(0)1，所以曲线yf()x在点x0处的切线方程为yx31，即得k3，b1．………………………………………………………………………………………6分（2）证：设函数g(x)(2x1)ex3x1，xR，则g(x)(2x3)ex3．………………………………………………………………………………8分设g()()xhx，则h(x)ex(2x5)，………………………………………………………10分5所以，当x时，hx()0，gx()单调递增．2又因为g(0)0，所以，x0时，gx()0，gx()单调递增；5x0时，gx()0，gx()单调递减．25又当x时，g(x)(2x3)ex30，2综上gx()在(,0)上单调递减，在(0,)上单调递增，……………………………………13分所以当x0时，gx()取得最小值g(0)0，即(2xx1)ex310，所以，当xR时，f(x)3x1．……………………………………………………………15分17．（15分）某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产．经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为94%；乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为98%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为97%．（1）从混合放在一起的零件中随机抽取3个，用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为X，求X的分布列和数学期望；（2）为了争取获得该零件的生产订单，甲工厂提高了生产该零件的质量指标．已知在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率．设事件A“甲工厂提高了生产该零件的质量指标”，事件B“该大型企业把零件交给甲工厂生产”．已知0PB()1，证明：PABPAB(|)(|)．解：（1）设甲工厂试生产的这批零件有m件，乙工厂试生产的这批零件有n件，事件M“混合放在一起零件来自甲工厂”，事件N“混合放在一起零件来自乙工厂”，数学试题参考答案及评分标准第3页共7页{#{QQABLQSQgggAAJJAABgCQQ1iCEEQkAECACoOQBAMsAAByBNABAA=}#}事件C“混合放在一起的某一零件是合格品”，mn则PM()，PN()，mnmnmnPCPCMPMPCNPN()(|)()(|)()94%98%97%，………………………2分mnmn计算得3mn．m1所以PM()．…………………………………………………………………………………3分mn41X的可能取值为0，1，2，3，XB(3,)，…………………………………………………5分413EX()3，…………………………………………………6分4413271327PXC(0)0()0()3，PXC(1)1()1()2，3446434464139131PXC(2)2()2()1，PXC(3)3()3()0．3446434464所以，X的分布列为：X0123272791P64646464………………………………………………8分证明：（2）因为在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，所以PBAPBA(|)(|)．………………………………………………………………………………10分P()()ABPAB即．PA()PA()因为PA()0，PA()0，所以P()()()()ABPAPABPA．因为PAPA()1()，P()()()ABPBPAB，所以P(AB)1(P())(()APBP(AB))()PA．即得P()()()ABPAPB，……………………………………………………………………12分所以P()()()()()()()ABPABPBPAPBPABPB．即P(AB)(1P(B))P(B)(P(A)P(AB))．又因为1PBPB()()，P()()()APABPAB，所以P()()()()ABPBPBPAB．因为0PB()1，0PB()1，P()()ABPAB所以．PB()PB()即得证PABPAB(|)(|)．…………………………………………………………………………15分数学试题参考答案及评分标准第4页共7页{#{QQABLQSQgggAAJJAABgCQQ1iCEEQkAECACoOQBAMsAAByBNABAA=}#}18．（17分）设抛物线C:2x2py（p0），直线l:2ykx交C于A，B两点．过原点O作l的垂线，交直线y2于点M．对任意kR，直线AM，AB，BM的斜率成等差数列．（1）求C的方程；（2）若直线ll//，且l与C相切于点N，证明：△AMN的面积不小于22．解：（1）设点A(,)x11y，B(,)x22y，由题可知，当k0时，显然有kkAMBM0；1当k0时，直线OM的方程为yx，点Mk(2,2)．k联立直线AB与C的方程得x22pkx4p0，4p22k16p0，所以x12x2pk，x12x4p，………………………………………………………………………3分因为直线AM，AB，BM的斜率成等差数列，yy22所以122k．x1222kxkkx44kx(kx4)(x2k)(kx4)(x2k)即122k，12212k，x1222kxk(x122k)(x2k)2化简得2(k2)(x12x4k)0．…………………………………………………5分将代入上式得2(k22)(2pk4k)0，则p2，所以曲线C的方程为xy24．…………………………………………………………………………8分（2）（法一）设直线l:ykxn，联立C的方程，得x24kx4n0．由0，得nk2，点N(2k,k2)，…………………………………………10分设AB的中点为E，xxyyk(xx)4因为122k，121222k2，则点E(2k,2k22)．……………12分2222k222因为k2，2所以点M，N，E三点共线，且点N为ME的中点，1所以△AMN面积为△ABM面积的．……………………………………………………………14分424k2记△AMN的面积为S，点Mk(2,2)到直线AB：kxy20的距离d，k21231122(2k4)22所以S|AB|d1k(x1x2)4x1x2(k2)22，88k21当k0时，等号成立．所以命题得证．………………………………………………………………………………………17分数学试题参考答案及评分标准第5页共7页{#{QQABLQSQgggAAJJAABgCQQ1iCEEQkAECACoOQBAMsAAByBNABAA=}#}（法二）设直线l:ykxn，联立C的方程，得x24kx4n0．由0，得nk2，则点N(2k,k2)．所以直线MN与x轴垂直．…………………………………………………