永州市2024年高考第三次模拟考试数学命题人：眭小军（永州一中）杜艳秋（永州四中）谢军（江华二中）田九三（祁阳二中）审题人：席俊雄（永州市教科院）注意事项：1．本试卷共150分，考试时量120分钟．2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效．3．考试结束后，只交答题卡．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则A． B． C． D．2．样本数据16，24，14，10，20，15，12，14的上四分位数为A．14 B．15 C．16 D．183．已知非零数列满足，则=A．8 B．16 C．32 D．644．的展开式中第四项的系数为540，则的值为A． B． C． D．5．为迎接2024年在永州举行的中国龙舟公开赛，一位热情好客的永州市民准备将9份一样的永州特产分给甲、乙、丙三名幸运观众，若每人至少分得一份，且甲、乙两人分得的份数不相同，则不同的分法总数为A．26 B．25 C．24 D．236．在中，，，,,则的最小值为A． B． C． D．7．已知函数，其中是自然对数的底数.若，则实数的取值范围是A． B． C． D．8．已知，分别是双曲线的左、右焦点，点为坐标原点，过的直线分别交双曲线左、右两支于,两点，点在轴上，，平分，其中一条渐近线与线段交于点,则A． B． C． D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是A．已知随机变量，若，则B．设，，则“”成立的充要条件是“”C．已知，，则D．若，，，则事件与相互独立10．已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为锐角的直线与抛物线相交于，两点（点在第一象限），过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，直线与抛物线的准线相交于点，则A．的最小值为2B．当直线的斜率为时， C．设直线，的斜率分别为，，则D．过点作直线的垂线，垂足为，交直线于点，则11．在平面四边形中，,,为等边三角形，将沿折起，得到三棱锥，设二面角的大小为．则下列说法正确的是A．当时，，分别为线段，上的动点，则的最小值为B．当时，三棱锥外接球的直径为C．当时，以为直径的球面与底面的交线长为D．当时，绕点旋转至所形成的曲面面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知复数，，若（为的共轭复数），则实数的取值范围为．13．已知在中，角，，所对的边分别为，，，且，，则．14．已知函数的定义域为R，，，且对于，恒有，则．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分13分）绿化祖国要扩绿、兴绿、护绿并举．某校植树节分别在甲，乙两块不同的土地上栽种某品种树苗各500株．甲地土质含有元素，乙地土质不含有元素，其它土质情况均相同，一段时间后，为了弄清楚该品种树苗的成活情况与元素含量是否有关联，分别在甲，乙两块土地上随机抽取树苗各50株作为样本进行统计分析．经统计，甲地成活45株，乙地成活40株．（1）根据所给数据，完成下面的22列联表（单位：株），并判断依据小概率值=0.10的独立性检验，能否认为该品种树苗成活与元素含量有关联？（2）若将频率视为概率，从样本中不成活的树苗中随机抽取3株，其中取自甲地的株数为，求的分布列及方差．22列联表参考公式：类别树苗成活情况合计成活不成活含元素不含元素合计参考数据：0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.87916．（本题满分15分）如图，在多面体中，底面为直角梯形，，，，．EDFCB（第16题图）A（1）证明：；（2）若，，且多面体的体积为，求直线与平面所成角的正弦值．17．（本题满分15分）已知函数.（1）当时，求在的单调区间及极值.（2）若恒成立，求的取值范围.18．（本题满分17分）已知数列为等比数列，为等差数列，且,,．（1）求，的通项公式；（2）数列的前项和为，集合共有5个元素，求实数的取值范围；（3）若数列中，，，求证：．19．（本题满分17分）已知为坐标原点，动点在椭圆上，动点满足，记点的轨迹为．（1）求轨迹的方程；（2）在轨迹上是否存在点，使得过点作椭圆的两条切线互相垂直？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）过点的直线交轨迹于，两点，射线QUOTE交轨迹于点，射线QUOTE交椭圆于点，求四边形面积的最大值．