2024届唐山市普通高等学校招生统一考试第二次模拟演练数学本试卷共4页，19小题，满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再涂黑其他答案标号。解答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U＝R，集合M＝{x|2x≥1}，集合N＝{x|x2＜4}，则M∪N＝A．[0，2)B．(－∞，2)C．[0，＋∞)D．(－2，＋∞)2．某地区5000名学生的数学成绩X(单位：分)服从正态分布X～N(90，2)，且成绩在[90，100]的学生人数约为1800，则估计成绩在100分以上的学生人数约为A．200B．700C．1400D．25003．若一条双曲线的实轴及虚轴分别为另一条双曲线的虚轴及实轴，则它们互为共轭双y2曲线．已知双曲线E的标准方程为x2－＝1，则E的共轭双曲线的离心率为26A．B．22C．3D．24．函数f(x)＝sin(2x－φ)(|φ|≤)在0，上为单调递增函数，则φ的取值范围为2(3)A．－，－B．－，0[26][6]C．，D．0，[62][6]5．已知长方体的一条棱长为2，体积为16，则其外接球表面积的最小值为A．5πB．12πC．20πD．80π高三数学试卷（唐山二模）第1页（共4页）6．已知数列{an}满足an＋1＝an＋a1＋2n，a10＝130，则a1＝A．1B．2C．3D．47．已知m为平面α外的一条直线，则下列命题中正确的是A．存在直线n，使得n⊥m，n⊥αB．存在直线n，使得n⊥m，n∥αC．存在直线n，使得n∥m，n∥αD．存在直线n，使得n∥m，n⊥α8．已知圆C：x2＋(y－3)2＝4，过点(0，4)的直线l与x轴交于点P，与圆C交于A，B→→→两点，则CP·(CA＋CB)的取值范围是A．[0，1]B．[0，1)C．[0，2]D．[0，2)二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．为研究光照时长x(小时)和种子发芽数量y(颗)之间的关系，y某课题研究小组采集了10组数据，绘制散点图如右图所示，P并进行线性回归分析，若去掉点P后，下列说法正确的是A．相关系数r变小B．经验回归方程斜率变小OxC．残差平方和变小D．决定系数R2变小210．设抛物线C：y＝4x的焦点为F，准线为l，过点(4，0)的直线与C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则下列说法正确的是A．x1x2＝16B．以AB为直径的圆与l相切C．以AB为直径的圆过坐标原点D．△ABF为直角三角形11．设函数f(x)＝ex＋(－1)n(sinx－cosx)，则下列结论正确的是A．n为奇数时，f(x)在(0，＋∞)单调递增B．n为奇数时，f(x)在(－2π，0)有一个极值点C．n为偶数时，f(x)在(－π，0)单调递增D．n为偶数时，y＝f(x)－2x的最小值为0高三数学试卷（唐山二模）第2页（共4页）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知i为虚数单位，复数z满足(1－3i)·z＝|3＋4i|，则复数z的虚部为________．13．公式(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab，其等号右侧展开式共有3类非同类项，(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca的展开式共有6类非同类项；那么(a＋b＋c＋d)2的展开式共2有________类非同类项，(a1＋a2＋…＋an)的展开式共有________类非同类项．14．锐角△ABC中，C＝2B，BC边上的高为4，则△ABC面积的取值范围为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）如图，在三棱台ABC—A1B1C1中，AB⊥平面B1BCC1，AB＝3，BB1＝B1C1＝CC1＝2，BC＝4．（1）求证：AA1⊥B1C；（2）求平面B1BCC1与平面A1ACC1夹角的余弦值．B1C1A1BCA16．（15分）某学校组织游戏活动，规则是学生从盒子中有放回的摸球且每次只能摸取1个球，2每次摸球结果相互独立，盒中有1分和2分的球若干，摸到1分球的概率为，摸到2分31球的概率为．3（1）若学生甲摸球2次，其总得分记为X，求随机变量X的分布列与期望；（2）学生甲、乙各摸5次球，最终得分若相同，则都不获得奖励；若不同，则得分多者获得奖励．已知甲前3次摸球得了6分，求乙获得奖励的概率．高三数学试卷（唐山二模）第3页（共4页）17．（15分）（1）证明：sin3x＝3sinx－4sin3x；11（2）若sin10∈(，)，n∈N，利用（1）结合自己所学知识，求n．n＋1n18．（17分）已知椭圆C的右焦点为F(1，0)，其四个顶点的连线围成的四边形面积为43；菱形ABDE内接于椭圆C．（1）求椭圆C的标准方程；（2）（ⅰ）坐标原点O在边AB上的投影为点P，求点P的轨迹方程；（ⅱ）求菱形ABDE面积的取值范围．19．（17分）数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立．证明分为下面两个步骤：1.证明当n＝n0（n0∈N）时命题成立；2.假设n＝k（k∈N，且k≥n0）时命题成立，推导出在n＝k＋1时命题也成立．用模取余运算：amodb＝c表示“整数a除以整数b，所得余数为整数c”．用带余除法可表示为：被除数＝除数×商＋余数，即a＝b×r＋c，整数r是商．如7＝3×2＋1，则7mod3＝1；再如3＝7×0＋3，则3mod7＝3．当amodb＝0时，则称b整除a．现从序号分别为a0，a1，a2，a3，…，an的n＋1个人中选出一名幸运者，为了增加趣味性，特制定一个遴选规则：大家按序号围成一个圆环，然后依次报数，每报到m（m≥2）时，此人退出圆环；直到最后剩1个人停止，此人即为幸运者，该幸运者的序号下标记为f(n＋1，m)．如f(1，m)＝0表示当只有1个人时幸运者就是a0；f(6，2)＝4表示当有6个人而m＝2时幸运者是a4；f(6，3)＝0表示当有6个人而m＝3时幸运者是a0．（1）求10mod3；（2）当n≥1时，f(n＋1，m)＝(f(n，m)＋m)mod(n＋1)，求f(5，3)；当n≥m时，解释上述递推关系式的实际意义；（3）由（2）推测当2k≤n＋1＜2k＋1（k∈N）时，f(n＋1，2)的结果，并用数学归纳法证明．高三数学试卷（唐山二模）第4页（共4页）唐山市2024年普通高等学校招生统一考试第二次模拟演练数学参考答案一．选择题：1～4．DBAC5～8．CDBD二．多选题：9．BC10．AC11．ABD3n(n＋1)323三．填空题：12．13．10，(前空2分，后空3分)14．(8，)223四．解答题：（若有其他解法，请参照给分）15．解：（1）因为AB⊥平面B1BCC1，B1C平面B1BCC1，所以AB⊥B1C，…1分作B1D⊥BC交BC于点D，在等腰梯形B1BCC1中，BB1＝B1C1＝CC1＝2，BC＝4，所以BD＝1，…2分1在Rt△BDB1中，cos∠B1BD＝，所以∠B1BD＝60°，2222在△BCB1中，由余弦定理得B1C＝B1B＋BC－2B1B·BC·cos60°＝12，…3分222所以B1C＋B1B＝BC，从而有B1B⊥B1C，…4分又AB∩B1B＝B，所以B1C⊥平面BAA1B1，…5分因为AA1平面BAA1B1，所以AA1⊥B1C．…6分→→（2）以B为原点，BA、BC分别为x轴、y轴正向，建立空间直角坐标系如图所示，则B(0，0，0)，A(3，0，0)，C(0，4，0)，B1(0，1，3)，C1(0，3，3)，→→C1C＝(0，1，－3)，AC＝(－3，4，0)，…8分因为AB⊥平面B1BCC1，→所以BA＝(3，0，0)为面B1BCC1的一个法向量．…9分设n＝(x，y，z)为面A1ACC1的法向量，→→y－3z＝0，则n·C1C＝n·AC＝0，即－3x＋4y＝0，取y＝3，x＝4，z＝3，则n＝(4，3，3)，…11分→·→|BAn|1227依题意，cosBA，n＝＝＝，→×|BA||n|327727所以平面B1BCC1与平面A1ACC1夹角的余弦值为．…13分716．解：（1）由题意知学生甲摸球2次总得分X的取值为2，3，4…1分2241214111P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝C2××＝，P(X＝4)＝×＝，…4分339339339所以X的分布列为：X234441P999高三数学参考答案第1页（共4页）4418所以EX＝2×＋3×＋4×＝．…6分9993（2）记Am＝“甲最终得分为m分”，m＝8，9，10；B＝“乙获得奖励”．1214P(A9)＝C2××＝，…8分339＝222＝4．…分P(A8)C2()1039当甲最终得9分时，乙获得奖励需要最终得10分，则51515P(B|A9)＝C5()＝()；…12分33当甲最终得8分时，乙获得奖励需要最终得10分或9分，则515121415P(B|A8)＝C5()＋C5××()＝11×()；…14分3333故P(B)＝P(A9B)＋P(A8B)＝P(A9)×P(B|A9)＋P(A8)×P(B|A8)415415481616＝×()＋×11×()＝＝＝．9393373672916即乙获得奖励的概率为．…15分72917．解：（1）sin3x＝sin(2x＋x)＝sin2xcosx＋cos2xsinx…2分＝2sinxcosx·cosx＋(1－2sin2x)sinx…4分＝2sinx(1－sin2x)＋sinx－2sin3x＝3sinx－4sin3x…6分1（2）由（1）可知，sin30＝3sin10－4sin310＝，…8分21即sin10是方程4x3－3x＋＝0的一个实根.…10分21令f(x)＝4x3－3x＋，f(x)＝12x2－3＝3(2x＋1)(2x－1)，…11分211显然0＜sin10＜sin30＝，当0＜x＜时，f(x)＜0，2211所以f(x)＝4x3－3x＋在(0，)上单调递减，…12分2211111117又f()＝4×()3＞0，f()＝4×()3－3×＋＝－＜0，…14分66555225011所以sin10∈(，)，即n＝5.…15分6518．解：x2y2（1）根据题意设椭圆C的标准方程为＋＝1，c＝1，…1分a2b2由已知得，ab＝23，a2－b2＝1，…3分解得a＝2，b＝3，x2y2所以椭圆C的标准方程为：＋＝1.…5分43高三数学参考答案第2页（共4页）（2）依题意设直线AB方程为y＝kx＋m，y＝kx＋m，x22222由＋y＝1，得(3＋4k)x＋8kmx＋4m－12＝0，…6分43由题意△＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝48(4k2－m2＋3)＞0，8km4m2－12则x1＋x2＝－，x1x2＝，…7分3＋4k23＋4k23m2－12k2所以y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝．…8分3＋4k2（ⅰ）∵四边形ABDE为菱形，∴OA⊥OB，→→4m2－123m2－12k2∴OA·OB＝0，∴x1x2＋y1y2＝＋＝0，…9分3＋4k23＋4k212(k2＋1)∴7m2＝12(k2＋1)，即m2＝．…10分7|m|12∵ＯP为点O到直线AB的距离，∴ＯP＝d＝＝，…11分1＋k2712所以P点的轨迹方程为：x2＋y2＝．…12分7＋22－2＋22(1k)(4km3)（ⅱ）因为|AB|＝(1＋k)[(x1＋x2)－4x1x2]＝43×，(4k2＋3)2112(k2＋1)(16k2＋9)∴△AOB的面积S＝×|AB|×d＝…14分27(4k2＋3)2t