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武汉市2024届高中毕业生四月调研考试数学答案
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武汉市2024高中毕业生四月调研考试数学试卷参考答案及评分标准选择题:题号1234567891011答案DBCADBCBBDACDBCD填空题:125312.1213.1314.−108解答题:15.(13分)解:(1)由题意,coscCAos=,得:3sincossincoscossinBCACAC−=.sin3sinCBAsin−所以3sincossincoscossinsin()BCACACAC=+=+.又sin()sin()sinACBB+=−=,且sin0B,所以cosC=1.3由sin0C,故sinCC=1−cos2=22.…………6分3(2)S==1absinC52,所以ab=15.2由余弦定理,c2=a2+b2−2abcosC=a2+b2−10.又c2=6(a−b)2=6(a2+b2)−180.联立得:ab22+=34,c=26.a+b=a22+b+28ab=.所以ABC的周长为abc++=8+26.…………13分16.(15分)解:(1)a=−1时,f(x)=lnx+x+x2,f'(x)=1+1+2x.xf'(1)=4,f(1)=2.所求切线方程为yx=4(−1)+2,整理得:yx=−42.…………5分2(2)f'(x)=1−a+2x=2x−+ax1.xx因为x0,故a0时,fx'()0,fx()在(0,+)上递增.当a0时,对于y=21x2−ax+,=a2−8.若0a22,则0,此时fx'()0,fx()在(0,+)上递增.22aa−8若a22,令2x−ax+1=0,得x=0.4aa−−28aa+−280x时,fx'()0,fx()递增;x时,fx'()0,fx()递增;44a−a22−88a+a−x时,fx'()0,fx()递减;44综上所述:a22时,fx()在(0,+)上递增;aa−−28a−a22−88a+a−a22时,fx()在(0,)上递增,在(,)上递减,4442在(,)aa+−8+上递增,…………15分4{#{QQABCYIQogAIAIAAABhCUQVwCEIQkBEAACoGBAAIMAAByRFABAA=}#}17.(15分)解:22(1)连接DA,EA,DA1=1,AA1=2,D=A1A60,DE=+−=12212cos603.222满足DADA+=AA11,所以DAD⊥A1,即DAA⊥B.平面ABB11A⊥平面ABC,且交线为AB,由DAA⊥B,得DA⊥平面ABC.由BC平面ABC,得DAB⊥C,又DEB⊥C,且DADED=,所以BC⊥平面DAE.由AE平面DAE,得BC⊥AE.设BEt==CE,3t,有BA2222tA−C=t−(3),解得:t=1.222所以BC=4,满足BA+=ACBC,即AC⊥AB,所以AC⊥平面ABB11A.由BB1平面ABB11A,得ACB⊥B1.…………8分(2)以A为坐标原点,ABAC,,AD为x,,yz轴的正方向建立空间直角坐标系.D(0,0,3),E(,3,0)3,A(1,0−,3),221DA=−(1,0,0),EA=−(,−,3)53.1122设平面DEA1的法向量n=(,,)xyz,−=x0n=DA10由,即3,n=EA0−5x−y+30z=122取z=1,得到平面PBD的一个法向量n=(0,2,1).又BB11=AA=(−1,0,3),设直线BB1与平面DEA1所成角的大小为,||nBB则sin=|cosn,BB|=1=3=15.110|n||BB1|5415所以直线BB与平面DEA所成角的正弦值为.…………15分111018.(17分)解:(1)设A(,),(,x1y1Bx2y2),(,PxPPy).22由yx=,得yx'2=,所以l1方程为:y=2x1(x−x1)+y1,整理得:y=−2x11xx.2同理,l2方程为:y=−2x22xx.xx+联立得:x=12,y=xx.P2P12设直线AB的方程为y=k(x−1)+2,与抛物线方程联立得:x2−kx+k−20=故x+=xk,xx=−k2,所以x=k,yk=−2,有yx=−22.1212P2PPP所以点P在定直线yx=−22上.…………6分{#{QQABCYIQogAIAIAAABhCUQVwCEIQkBEAACoGBAAIMAAByRFABAA=}#}xx(2)在ll,的方程中,令y=0,得MN(,012),(,0),1222所以PMN面积SMNyxxxx==−=11|||||()|2.24P12122222故()x(1212x)x−=32x,带入可得:(48)(44)32kkkk−+−+=.[(2)8][(2)4]0kk−+−−=22,解得:k=0或k=4.所以点P的坐标为(0,2−)或(2,2).…………11分1x111(3)抛物线焦点F(0,),由M(,0)得直线MF斜率kMF=−=−,422xk1MP所以MFM⊥P,同理NFN⊥P,所以PF是外接圆的直径.若点T也在该圆上,则TFT⊥P.74由k=,得直线TP的方程为:yx=−−+(1)2.TF47又点P在定直线yx=−22上,1614联立两直线方程,解得点P的坐标为(,).…………17分9919.(17分)解:(1)PX()k(1p=)p=−k−1,nkpppppnp(1)[12(1)3(1)...(1)]−=+−+−++−kn−−121,k=121n−记Sn=1+2(1−p)+3(1−p)+...+n(1−p),21nn−则(1−p)Sn=−+−++−−(1p)2(1p)...(n1)(1p)+−n(1p),21nn−相减得:pSn=1+(1−p)+(1−p)+...+(1−p)−n(1−p)1−(1−pp)nn1−(1−)=−n(1−p)nn=−n(1−p)1−−(1pp)n1−−(1p)n1由题意:E(X)=lim(pSn)=lim[−n(1−p)]=.…………5分nn→→pp2(2)(i)E2=(1−p)(E2+1)+p2+p(1−p)(E2+2).1+p解得:E=.…………8分2p2(ii)期待在En−1次试验后,首次出现连续(n−1)次成功,若下一次试验成功,则试验停止,此时试验次数为(En−1+1);若下一次试验失败,相当于重新试验,后续期望仍是En,此时总的试验次数为(EEnn−1++1).即En=p(En−−11+1)+(1−p)(En+1+En).整理得:EE=+1(1),即EE+1=1()+1.nnp−1nn11−−pp−1p所以EE+1=1()+1.n11−−pppn−11由(1)知E=1,1p1−pn代入得:E=.…………17分n(1−pp)n{#{QQABCYIQogAIAIAAABhCUQVwCEIQkBEAACoGBAAIMAAByRFABAA=}#}

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