宜荆荆五月高考适应性考试数学试题命题人:周娟审题人:刘灵力本试卷共2页,共19题。满分150分,考试用时120分钟。注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名.准考证号填在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后,用2 B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答在试题卷上无效.3.填空题和解答题答在答题卡上每题对应的答题区域内,答在试题卷上无效.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若角α的顶点为坐标原点,始边在x轴的非负半轴上,终边在直线y=3x上,则角α的取值集合是A.α α=2kπ+π3,k∈ZB.α α=2kπ+2π3,k∈ZC.α α=kπ+2π3,k∈ZD.α α=kπ+π3,k∈Z2.从一个容量为mm≥3,m∈N的总体中抽取一个容量为3的样本,当选取简单随机抽样方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的可能性是15,则选取分层随机抽样方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的可能性是A.15B.14C.12D.133.复数z1,z2在复平面内分别对应点A,B,z1=3+4i,将点A绕原点O按顺时针方向旋转90∘得到点B,则z2=A.3−4iB.−4−3iC.4−3iD.−3−4i4.如果一个等差数列前10项的和为54,最后10项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有A.36项B.37项C.38项D.39项5.直线y=kx与圆x−12+y−12=1交于M.N两点,O为坐标原点,则OM⋅ON=A.11+k2B.k21+k2C.1D.26.有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且x>y>z,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/m2)分别为a,b,c,且a5,M3,6,若对于椭圆上任意两个关于原点对称的点p1x1,y1,p2x2,y2,有MP1⋅MP2≥1恒成立,则实数a的取值范围是.14.祖暅原理也称祖氏原理，是我国数学家祖暅提出的一个求体积的著名命题：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的立体，如在等高处截面积相等，则体积相等.由曲线x24−y23=1,y=±32x,y=±4围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V,则V=.四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题13分)设an是正数组成的数列,其前n项和为Sn,已知an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项.(1)求数列an的通项公式;(2)令bn=12an+1an+anan+1n∈N∗,求bn的前n项和.16.(本小题15分)如图,在三棱锥P−ABC中,侧面PAC⊥底面ABC,AC⊥BC,△PAC是边长为2的正三角形,BC=4,E,F分别是PC,PB的中点,记平面AEF与平面ABC的交线为l.1证明:直线l⊥平面PAC;(2)设点Q在直线l上,直线PQ与平面AEF所成的角为α,异面直线PQ与EF所成的角为θ,求当AQ为何值时α+θ=π2.17.(本小题15分)已知函数fx=ex−lnx−a,gx=ex−lnx+a,,其中a为整数且a≥1.记x0为fx的极值点,若fx存在两个不同的零点x1,x2x10的焦点为F,H为E上任意一点,且HF的最小值为1.(1)求抛物线E的方程;(2)已知P为平面上一动点,且过P能向E作两条切线,切点为,M,N,记直线PM,PN,PF的斜率分别为k1,k2,k3,且满足1k1+1k2=2k3.(1)求点P的轨迹方程;(2)试探究:是否存在一个圆心为Q0,λλ>0,半径为1的圆,使得过P可以作圆Q的两条切线l1,l2,切线l1,l2分别交抛物线E于不同的两点As1,t1,Bs2,t2和点Cs3,t3,Ds4,t4,且s1s2s3s4为定值?若存在,求圆Q的方程,不存在,说明理由.19.(本小题17分)龙泉游泳馆为给顾客更好的体验,推出了A和B两个套餐服务,顾客可选择A和B两个套餐之一,并在App平台上推出了优惠券活动,下表是该游泳馆在App平台10天销售优惠券情况.日期t12345678910销售量y(千张)1.91.982.22.362.432.592.682.762.70.4经计算可得:y=110i=110yi=2.2,i=110tiyi=118.73,i=110ti2=385.(1)因为优惠券购买火爆,App平台在第10天时系统出现异常,导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少,已知销售量y和日期t呈线性关系,现剔除第10天数据,求y关于t的经验回归方程（结果中的数值用分数表示);（2）若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为14,选择B套餐的概率为34,并且A套餐可以用一张优惠券,B套餐可以用两张优惠券,记App平台累计销售优惠券为n张的概率为Pn,求Pn;(3)记(2)中所得概率Pn的值构成数列Pnn∈N∗.(1)求Pn的最值:(2)数列收敛的定义:已知数列an,若对于任意给定的正数ε,总存在正整数N0,使得当n>N0时,an−a<ε,(a是一个确定的实数),则称数列an收敛于a.根据数列收敛的定义证明数列Pn收敛.参考公式: