安徽省合肥市部分学校2024届高三下学期高考适应性考试数学试题考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。4．本卷命题范围：高考范围。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，则A． B． C． D．2．已知，则A． B． C． D．3．已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为8的半圆，则该圆锥的体积为A． B． C． D．4．为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了言语表达测试，经过大数据分析，发现本次言语表达测试成绩服从，据此估计测试成绩不小于94的学生所占的百分比为参考数据：A． B． C． D．5．某银行大额存款的年利率为，小张于2024年初存入大额存款10万元，按照复利计算8年后他能得到的本利和约为（单位：万元，结果保留一位小数）A．12.6 B．12.7 C．12.8 D．12.96．已知定义在上的偶函数满足且，则A．4049 B．2025 C．4048 D．20247．已知双曲线的右焦点为，圆与的渐近线在第二象限的交点为，若，则的离心率为A．2 B． C．3 D．8．如图，正四面体ABCD的棱长为是以为直角顶点的等腰直角三角形．现以AD为轴，点绕AD旋转一周，当三棱锥的体积最小时，直线CE与平面BCD所成角为，则A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．已知是函数的两个零点，且的最小值是，则A．在上单调递增 B．的图象关于直线对称C．的图象可由的图象向右平移个单位长度得到D．在上仅有1个零点10．已知实数a，b满足，则A． B． C． D．11．椭圆的两个焦点分别为，则下列说法正确的是A．过点的直线与椭圆交于A，B两点，则的周长为8B．若上存在点，使得，则的取值范围为C．若直线与恒有公共点，则的取值范围为D．若为上一点，，则的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知，则______.13．中，若，则______.14．若对恒成立，则实数的取值范围为______.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（本小题满分13分）设数列的前项和为，已知是公差为2的等差数列．（1）求的通项公式；（2）若，设数列的前项和，求证：．16．（本小题满分15分）在平时的日常生活中游泳对锻炼身体有很多的好处，大致有以下几个方面：一、游泳可以让身体更加苗条，达到减肥的效果；二、游泳能够增加人体的肺活量，提高人体的呼吸系统能力，也可以预防心脑血管系统疾病，包括冠心病、不稳定型心绞痛以及脑血栓等疾病；三、游泳可以保护关节，让关节避免受到损伤．下面抽取了不同性别的高中生共100人，并统计了他们游泳的水平如下表：合格不合格合计男性1050女性20合计70100（1）根据此表依据的独立性检验判断：是否可以认为高中生游泳水平与性别有关?（2）游泳教练从成绩不合格的高中生中抽取了2名女生和1名男生进行游泳示范指导．已知经过一段时间指导后，女生成绩合格的概率为，男生合格的概率为，求这3人经过指导后成绩合格总人数的分布列和数学期望．参考公式：①相关性检验的临界值表：0.100.050.102.7063.8416.635②，其中．17．（本小题满分15分）如图，在矩形纸片ABCD中，，沿AC将折起，使点到达点的位置，点在平面ABC的射影落在边AB上.（1）求AH的长度；（2）若M是棱PC上的一个动点，是否存在点，使得平面AMB与平面PBC夹角的余弦值为?若存在，求出CM的长；若不存在，说明理由.18．（本小题满分17分）已知平面上一动点P到定点的距离比到定直线的距离小2023，记动点的轨迹为曲线．（1）求的方程；（2）已知直线与曲线交于M，N两点，是线段MN的中点，点在直线上，且AT垂直于轴．设点在抛物线上，BP，BQ是的两条切线，P，Q是切点．若，且A，B位于轴两侧，求的值．19．（本小题满分17分）已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，函数在区间内有唯一的极值点．①求实数的取值范围；②求证：在区间内有唯一的零点，且．2024年安徽省高考适应性考试数学试卷参考答案、提示及评分细则1．B ，所以．故选B．2．D 设，则，因为，所以，即，所以解得所以．故选D．3．D 设圆锥的底面圆半径为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得，则圆锥的高，所以该圆锥的体积为．故选D．4．A 依题意，所以测试成绩不小于94的学生所占的百分比为．故选A．5．B 存入大额存款10万元，按照复利计算，可得每年末本利和是以10为首项，为公比的等比数列，所以本利和．故选B．6．A 由，令，得，又令得，再令，又，所以，又，所以为的一个周期，．故选A．7．C 如图，根据题意可得，所以，又，且显然为锐角，所以，，在中，由正弦定理可得，即，化简得，所以的离心率为．故选C．8．D 在正四面体ABCD中，取BC的中点，连接DF，AF，则，取AD的中点，连接FM，EM，则是以为直角顶点的等腰直角三角形，正四面体ABCD的棱长为2，则，且．点绕AD旋转一周，形成的图形为以为圆心，以1为半径的圆，设该圆与MF的交点为，当三棱锥的体积最小时，即点到底面BCD的距离最小，即此时点即位于处．因为，则，设点在底面BCD上的射影为，则，又，BC的中点为，故，故，由于点在底面BCD上的射影为，故即为直线与平面BCD所成角，故．故选D．9．ABD 由题意可知，函数的最小正周期．对于，当时，在上单调递增，故A正确；对于B，的图象关于直线对称，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，当时，，仅当，即时，，故D正确．故选ABD．10． 对于，故A错误；对于，则，故B正确；对于，令，当时，单调递增，因为，则，得，即，所以，故C正确；对于D，函数在上单调递增，因为，则，即，所以，故D正确．故选BCD．11． 对于，由椭圆定义可得的周长为，但焦点不一定在轴上，故错误；对于，若，则，当位于短轴顶点时，最大，此时，即．当时，由，解得；当时，由，解得，故B正确；对于C，直线过定点，所以，即，又，所以的取值范围为，故C错误；对于D，设，所以，当时，，故D正确．故选BD．12． 由，得，整理得，解得（舍）或，所以．13． 由得，即，所以．由得，即．设为线段AB上靠近的四等分点，则．设，则，所以，所以14． 可变形为，即，所以，即，由，得，即构造函数，则，且原不等式等价于，当时，原不等式显然成立；当时，因为在上单调递增，所以，解得．令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，从而是的极小值，也是的最小值，且，于是，故的取值范围为．15．（1）解：因为，所以，………………………………………………………1分所以，即．……………………………………………………3分当时，，………………………………………5分又适合上式，所以．………………………………………………………………………………………………6分（2）证明：……………8分故……………………10分而关于单调递增，所以，…………………………………………………12分又，所以，所以．……………………………………………………………………………………………13分16．解：（1）完成表格如下：合格不合格合计男性401050女性302050合计7030100……………………………………………………………………………………………………………………2分零假设：高中生游泳水平与性别无关，，…………………………………………………5分依据的独立性检验，我们有充分的理由认为不成立，即高中生游泳水平与性别有关．…………………………………………………………………………………………………………………7分（2）依题意，的所有可能取值为0，1，2，3，,所以的分布列为：0123……………………………………………………………………………………………………………………12分数学期望．……………………………………………………15分17．解：（1）作，垂足为，连接EH，如图所示：由点在平面ABC的射影落在边AB上可得平面ABC，又平面ABC，所以…………………………………………………………………………2分因为，且平面PHE，所以平面PHE，…………………………………………………………………………………………3分又平面PHE，所以，又因为ABCD为矩形，，可得．………………………………………………4分由，可得，所以．………………………………………………6分由可得，则，即AH的长度为1.………………………………………………………………………………………………7分（2）根据题意，以点H为坐标原点，以过点且平行于BC的直线为轴，分别以HB，HP所在直线为x，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：则，设，所以，所以…………………………9分易知，设平面AMB的一个法向量为，则由取，则…………………10分设平面PBC的一个法向量为，则由取,则,……………………………………………………11分由,整理可得,解得（舍）或，…………………………………………………………………………………13分因此，即．所以存在点，使得平面AMB与平面PBC夹角的余弦值为，此时CM的长度为．…………15分18．解：（1）因为点到定点的距离比到定直线的距离小2023，所以点到定点的距离与到定直线的距离相等，由抛物线的定义可知，点的轨迹是以定点为焦点，定直线为准线的抛物线，所以的方程为．……………………………………………………………………………………4分（2）设，联立消去得，则，所以，所以，则．………………………………………………………………………6分因为，所以直线AB的方程为，即，联立消去得，解得或，又A，B位于轴两侧，故．…………………………………………………………7分设点在抛物线上，又由，得，则在点处的切线方程为，整理得，………………………………………………………………………………8分设，则在与处的切线方程分别为与，又两条切线都过点，则，则直线PQ的方程为，即，……………………………………………………………………………………10分又，点的坐标适合方程，所以点在直线PQ上．由是线段MN的中点，得，而，则．………………………………………………………………………………12分联立消去得，则………………………………………………………………………13分………………………………………………16分所以．………………………………………………………………………………………17分19．（1）解：当时，，则，…………………………1分所以，…………………………………………………………………………………2分故曲线在点处的切线方程为．…………………………………………3分（2）①解：函数，（ⅰ）当时，，所以，则在上单调递增，没有极值点，不合题意；…………………………………………5分（ⅱ）当时，设，则在上恒成立，所以在上单调递增，即在上单调递增，………………………………………………6分又，所以在上有唯一零点，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以函数在区间内有唯一极值．点，符合题意．综上，的取值范围是．………………………………………………………………………………8分②证明：由①知，当时，，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所