高三数学考试考生注意：答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。1.集合，，若的充分条件是，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.2.复数的虚部是（）A.B. C. D.3.如图在中，点D、E分别在边AB、BC上，且均为靠近B的四等分点，CD与AE交于点F，若，则=（）A． B． C．D．4.第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，甲､乙等4名杭州亚运会志愿者到游泳､射击､体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的安排方法共有（）A.12种 B.18种 C.24种 D.36种5.把函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标压缩到原来的倍，纵坐标不变，得到图象关于原点对称的函数，则（）A． B．为的一个对称中心C． D．为的一条对称轴6.已知函数的定义域为，且，，则（）A.B.为奇函数C.D.的周期为37.已知曲线，则的最大值为（）A． B． C． D．8.已知双曲线，以右顶点为圆心，为半径的圆上一点（不在轴上）处的切线与交于、两点，且为中点，则的取值范围为（）A. B. C. D.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。直三棱柱中，点是的中点，，点为侧面（含边界）上一点，平面，则下列结论正确的是（）A．B．直线与直线所成角的余弦值是C．点到平面的距离是D．线段长的最小值是10.瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若满足，顶点，)，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（）A.圆上的点到原点的最大距离为B.圆上存在三个点到直线的距离为C.若点在圆上，则的最小值是D.若圆与圆有公共点，则11.已知有三个不相等的零点且，则下列命题正确的是（）A.存在实数 ，使得B.C.D.为定值填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。中，，.则角角分线的长为____.13.某校高二学生一次数学诊断考试成绩(单位：分)服从正态分布，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩为事件，记该同学的成绩为事件，则在事件发生的条件下事件发生的概率=______.(结果用分数表示)附参考数据：；；.14.数列中，，．设是函数（且）的极值点．若表示不超过的最大整数，则．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.为了检查工厂生产的某产品的质量指标，随机抽取了部分产品进行检测，所得数据统计如下图所示.  求的值以及这批产品的优质率：（注：产品质量指标达到130及以上为优质品）；(2)若按照分层的方法从质量指标值在的产品中随机抽取件，再从这件中随机抽取件，求至少有一件的指标值在的概率；(3)以本次抽检的频率作为概率，从工厂生产的所有产品中随机抽出件，记这件中优质产品的件数为，求的分布列与数学期望.16.已知椭圆的中心在坐标原点，两焦点在轴上，离心率为，点在上，且的周长为6．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的动直线与相交于，两点，点关于轴的对称点为，直线与轴的交点为，求的面积的最大值．17.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若恒成立，求的取值集合；（3）若存在，且，求的取值范围．18.在四棱锥Q－ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD=2，，QC=3.（1）证明：平面QAD⊥平面ABCD；（2）若点P为四棱锥Q－ABCD的侧面QCD内（包含边界）的一点，且四棱锥P－ABCD的体积为，求BP与平面ABCD所成角的正弦值的最小值.19.已知数列，即当时，，记求的值.求当，试用的代数式表示对于，定义集合，求集合中的元素个数.数学答案单项选择题1.B2.A3.A4.C5.D6.C7.A8.A多项选择题9.ACD10.BD 11.BCD 三.填空题12.213.279514.1011四.解答题15.解：（1）因为，所以，..........................2分产品质量指标超过130的频率为，所以这批产品的优质率为25%.................................................................................................3分（2）因为质量指标在和的频率分别为0.4和0.3.所以质量指标在产品中抽取7件，则质量指标在有件，质量指标在有件.......................................................................................................................5分所以从这7件中任取2件，至少有一件质量指标在的概率为.............................................................................................................................7分（3）因为抽到产品为优质产品的频率为0.25，以频率作为概率，所以每件产品为优质产品的概率为.所以4件产品中优质产品的件数...............................................9分则，，所以，，，，，...................................................................................................11分所以的分布列为01234P.................................................................................................................13分解：（1）设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，因为e=ca=12，|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=6，a2−b2=c2，解得a=2，b=3，所以椭圆方程为x24+y23=1...............................................4分（2）由题意直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为x=my+4，m≠0，设Ax1,y1，Bx2,y2，Dx2,−y2，与椭圆方程联立x=my+4x24+y23=1，消去x得(3m2+4)y2+24my+36=0，所以Δ=(24m)2−4×36×(3m2+4)=144(m2−4)>0，即m2>4，由根与系数的关系得y1+y2=−24m4+3m2y1y2=364+3m2,...................................................................................6分因为直线AD的方程为y−y1=y1+y2x1−x2(x−x1)，令y=0，得x=x1y2+x2y1y1+y2=(my1+4)y2+y1(my2+4)y1+y2=2my1y2+4(y1+y2)y1+y2=1，即E(1,0)，...10分又S△ABE=S△AME−S△BME=12·|ME|·|y1−y2|=32(y1+y2)2−4y1y2=18×m2−43m2+4=18×m2−43(m2−4)+16=18×13m2−4+16m2−4⩽334，当且仅当3m2−4=16m2−4，即m2=283时取等号，所以△ABE的面积存在最大值，最大值是334． ........................................................15分17.解：(1)f'(x)=aex−1，当a≤0时，f'(x)<0，所以f(x)在R上单调递减；当a>0时，令f'(x)<0，解得x<−lna，f(x)在(−∞,−lna)上单调递减，令f'(x)>0，解得x>−lna，f(x)在(−lna,+∞)上单调递增．..................4分(2)因为f(x)≥0恒成立，而f(0)=0，所以a>0．由(1)可知：f(x)min=f(−lna)=1+lna−a，令函数ℎ(a)=1+lna−a，ℎ'(a)=1a−1=1−aa，易知ℎ(a)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，且ℎ(1)=0，要使得f(x)≥0恒成立，则a=1，即a的取值集合为{1}．....................7分(3)由f(x1)+x1(1−cosx1)=f(x2)+x2(1−cosx2)=0，可得：aex1−x1cosx1−a=aex2−x2cosx2−a=0．设函数g(x)=aex−xcosx−a，x∈(−π2,π2)，即g(x)在(−π2,0)和(0,π2)上存在零点．.....................................8分记g″(x)是g'(x)的导数，g'''x是g″(x)的导数，g(4)(x)是g的导数．g'(x)=aex−cosx+xsinx，g″(x)=aex+2sinx+xcosx，在(0,π2)上，若a≤0，则g(x)<0；若a≥1，则g'(x)>0，g(x)>g(0)=0，矛盾．因此，a∈(0,1)为必要条件，下证充分性：................................10分在(0,π2)上，g''(x)>0，g'(0)=a−1<0，g'(π2)=aeπ2+π2>0，即g'(x)先负后正，因此g(x)先减后增，由g(0)=0，g(π2)=a(eπ2−1)>0，可知：g(x)在区间(0,π2)上有唯一零点．......12分在(−π2,0)上，g，g(4)(x)=aex−4sinx−xcosx>0．由，g'''0=a+3>0，可知g'''x先负后正，因此g先减后增，g″(−π2)=ae−π2−2<0，g″(0)=a>0，可知g″(x)先负后正，g'(x)先减后增．由g'(−π2)=ae−π2+π2>0，g'(0)=a−1<0，可知g'(x)先正后负，因此g(x)先增后减，由g(−π2)=a(e−π2−1)<0，g(0)=0，可知g(x)在区间(−π2,0)上有唯一零点，符合题意．.......................14分所以a的取值范围为(0,1)．.............................................15分 18.解：（1）取的中点为，连接，.因为，，则，.................................................................2分而，，故.在正方形中，因为，故，故，因为，故，故为直角三角形且，............4分因为，且平面，故平面，因为平面，故平面平面.................6分（2）在平面内，过作，交于，因为，则.结合（1）中的平面，且平面，则，故直线两两互相垂直，故以为坐标原点，所在直线分别为轴建如图所示的空间直角坐标系则，，，，故，，...........................................................9分因为，所以，又因为点为四棱锥的侧面内的一点（包含边界），所以点的轨迹是的中位线，............................................