2024年沈阳市高中三年级教学质量监测（三）数学参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1.B2.D3.D4.B5.A6.C7.C8.A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．9.ACD10.BCD11.AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．3712.2513.14.1093【部分题目解析】8．因为fx(21)是偶函数，则f()x的图象关于直线x1轴对称，又因为fx(2)是奇函数，则f()x的图象关于点(2,0)中心对称，故函数f()x具有周期性，且周期为4，则ff(7)(1)f(1)1．111．f(x)3sinnxcosnxcos2nxsin(2nx)，6271对于A，当x[0,]时，2[,]nx，sin(2nx)[,1]，fx()0；266662min1对于B，函数f()x图象的对称中心的纵坐标应为；2nn2对于C，2[,]nx，62636n2k226214解,kZ得到n[,2][,5]，所以n1,2,5；23n332k36211对于D，方程等价于sin(2nx)，函数gx()sin(2nx)的图象和直线y的6464交点如图第1页共10页{#{QQABaYqAggAIAJBAARhCUwGCCEMQkBACCAoGBAAEoAAAyRFABAA=}#}函数gx()的最小正周期TAA||13，设||AA12dT，||AA23DT，（其中D1d）1112因为0sin，所以由下图可知dD，26dD36446323因为在区间(,xx)内的解的个数m[5,9]，所以区间长度应满足：0066(2DT)(4dT)，由T，则(2Dd)(4)，6nnn6化简得126Dn246d，所以n[16,26]．正整数的n值有11个．12．由(4abb)4abb24，得|2ab|224a4abb2422420，所以|2ab|25．1113．由题意SSS||||sin120||||sin60BDADCDAD，△△△ABCABDACD224又||2||CDBD，||1AD，S3，故BD，在△ABD中，由余弦定理解，△ABC33737得|AB|22|BD||AD|22|BD||AD|cos120，则c．93yy14．由题意得，pyqlog2,2，log2y22024，x设fx()log2x2，显然f()x是增函数，从而y是方程fx()2024的唯一解，由2101024,2112048，且当x[10,11]时，logx(3,4)2第2页共10页{#{QQABaYqAggAIAJBAARhCUwGCCEMQkBACCAoGBAAEoAAAyRFABAA=}#}1011可得f(10)log2102(1027,1028)，f(11)log2112(2051,2052)，从而y应略小于11，需要判断y与10.9的大小关系，先估算210.9的近似值。考虑函数y2x图象上两个点AB(10,1024),(11,2048)之间的线段，然后进行“割线放缩”，110.92yyFG2048102410120481000204810019481010.9f(10.9)log210.92419482024，所以n109注1：此题借鉴了人教B版课本中《导数的几何意义》一节所提到的“以直代曲”的方法。注2：线段AB位于y2x图象上方的直观结论，可以用导数的知识来证明。四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）（1）设等差数列{}an的公差为d（d0），22因为aaa2514,,构成等比数列，所以aaa5214，即(14ddd)(1)(113)，解得d2，或d0（舍），…………………………3分则ann1(1)22n1．…………………………5分2（2）bnn，且bn0，所以bnn，    …………………………7分 11则nn1，    …………………………10分 bbnn1nn1Snnnnn(21)(32)(1)111．…………………………13分 16．（本小题满分15分）设事件A为该题的正确答案是2个选项，则A为该题的正确答案是3个选项，即PA()p，PA()1p．第3页共10页{#{QQABaYqAggAIAJBAARhCUwGCCEMQkBACCAoGBAAEoAAAyRFABAA=}#}111（1）由p得，PA()，PA()，222设事件B为甲同学既选出正确选项也选出错误选项，则11CC222PB(|)A2，…………………………2分C4311CC311PB(|)A2，…………………………4分C4221117则PB()PB(|APA)()PB(|APA)()；322212…………………………6分112（2）由p得，PA()，PA()，333设X表示乙同学答题得分，则X的取值范围为{0,2,3}，11CC2111121则PX(0)()11PAPA()，CC44234331C3321PX(2)()1PA，C44321C2111PX(3)()1PA，…………………………9分C42361113所以EX()023．…………………………10分3262设Y表示乙同学答题得分，则Y的取值范围为{0,4,6}，21111CCC222CC31511211则PY(0)22P()AP()A，CC446323182C3121PY(4)2P()A，C42332C2111PY(6)2P()A，…………………………13分C4631811115所以EY()046．…………………………14分183183即EX()EY()，乙同学得分数学期望小于丙同学得分数学期望．…………………………15分第4页共10页{#{QQABaYqAggAIAJBAARhCUwGCCEMQkBACCAoGBAAEoAAAyRFABAA=}#}17．（本小题满分15分）1（1）当a0时，fx()ex1，fx()ex1，则f(0)e1，e…………………………3分111而f(0)e1，所以切线方程为yf(0)f(0)(x0)，即yx．eee…………………………6分（2）当x0时，由f()xgx()，得elnx1ax，即axelnx1恒成立，…………………………7分1设hx()ex1lnx（x0），则hx()ex1，x11设()xex1（x0），则()xex10，故hx()在(0,)上单调递增，xx2…………………………9分又因为h(1)0，所以当x(0,1)时，hx()0，hx()单调递减，当x(1,)时，hx()0，hx()单调递增，…………………………12分则hx()h(1)e001，…………………………13分则a1，即a的取值范围为(,1]…………………………15分18．（本小题满分17分）（1）（方法一）过D作DHCD1于点H，由平面ACD1平面CDD1，平面ACD1平面CDD11CD，DH平面CDD1，DHCD1，所以DH平面ACD1，…………………………2分又AC平面ACD1，所以DHAC，在四棱柱ABCDA111BCD1中，AA1平面第5页共10页{#{QQABaYqAggAIAJBAARhCUwGCCEMQkBACCAoGBAAEoAAAyRFABAA=}#}ABCD，即DD1平面ABCD，而AC平面ABCD，所以DD1AC，又DHDD1D，所以AC平面CDD1，又CD平面CDD1，所以ACCD．…………………………4分在底面四边形ABCD中，ADBC，BAAD，所以ABC90，又ABBC，则BACBCA45，即CAD45，且AC2AB，又有ACCD，则在等腰直角ACD中，AD2AC，即AD2AB，又ABAD6，则AB2，…………………………6分AD4，SACD4，又DD11AAAB2，118则VSDD42．…………………………8分DACD1333ACD1（方法二）由四棱柱ABCDA111BCD1中，AA1平面ABCD，BAAD，故以AB,,ADAA1分别y为x轴、轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，设ABt（06t），则BCAAt1，ADt6，则A(0,0,0)，Bt(,0,0)，Ctt(,,0)，D(0,6t,0)，At1(0,0,)，Dtt1(0,6,)，在平面ACD1中，AC(,,0)tt，AD1(0,6t,t)，设平面ACD1的一个法向量为nACtxty10nxyz1(,,)，则，nAD1(6tytz)0yt令，则zt6，xt，即nttt1(,,6)，…………………………2分在平面CDD1中，CD(,62,0)tt，DD1(0,0,t)，第6页共10页{#{QQABaYqAggAIAJBAARhCUwGCCEMQkBACCAoGBAAEoAAAyRFABAA=}#}nCDtx2(62ty)0设平面CDD1的一个法向量为nxyz2(,,)，则，nDDtz210yt令x62t，则，z0，即ntt2(62,,0)，…………………………4分22因为平面ACD1平面CDD1，所以nn12t(62t)t6t3t0，又因为06t，所以t2，…………………………6分即ABBCAA12，AD4，又BAAD，DD1平面ABCD，118所以VSDD42．…………………………8分DACD1333ACD1（2）由四棱柱ABCDA111BCD1中，AA1平面ABCD，BAAD，故以AB,,ADAA1分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，设ABt（06t），则BCAAt1，ADt6，则A(0,0,0)，Bt(,0,0)，Ctt(,,0)，tDt(0,6,0)，At(0,0,)，Dtt(0,6,)，Et(,,0)，BDtt(,6,0)，112…………………………10分t在平面ABE中，AB(,0,)tt，AE(,t,0)，112nABtxtz01设平面AB1E的一个法向量为nxyz(,,)，则t，nAEtxy02令x1，则y2，z1，即n(1,2,1)，…………………………12分|2(6)|tt|12|t3则sin60|cosBD,n|，6tt22(6)62tt212362…………………………13分第7页共10页{#{QQABaYqAggAIAJBAARhCUwGCCEMQkBACCAoGBAAEoAAAyRFABAA=}#}即2|ttt12|3221236，整理得41590tt2，………………………15分3解得t3，或t，由t1，则t3．…………………………17分419．（本小