2024届芜湖市高中毕业班教学质量统测数学试题参考答案一、单选题12345678BDCACCBA10118.解析：blnln(1)a999bcln10ln9lg11ln9ln9ln10lg11ln9ln11ln210ln11ln9ln10ln9ln10ln101ln11ln9[ln210()2]ln1021ln100[ln210()2]0ln102bc，故答案选A.二、多选题91011BCDADABD解析：对于项，通过比较直线与渐近线斜率易知项正确；11.Al公众号：全元高考A对于项，由于BPF1PF22a,QF1QF22a相减得PF1QF1PF2QF2所以PQQF2PF2(PF1QF1)QF2PF2，因此项正确；(PF1QF1)PF1QF12PF1B111对于项，设的中点为，则，也即两圆半径之和，所以CPF2SOSPFPF2aPFa212222两圆外切，因此C项错误；b对于D项，联立渐近线yx与圆x2y2c2方程得M(a,b)，由于FMMF，则ARFM.连接MA并a21222延长交NO于M，则M(a,b)，A2为MM中点，又MN的中点为R，则RA2MN，从而MNRA2MF2，所以，从而，因此.OA2A2F2acae2因此D项正确；故答案选ABD.三、填空题12.613.514.[1,2]，(，1][9，）13.解析：作BMAC，则BM平面BAC，故BMBM.由题意可知AM1，BMBM2，因此BB2，对棱相等的三棱锥BABC可放置在边长分别为a,b,c的长方体中.a2b23，a2c23，b2c24，故外接球表面积为S4R2(2R)2(a2b2c2)5.14.解：令sincost,则t[1,2]，2sincost21,mnt2+x+4,x+at,2212因为t2x4xatt2x4xat,所以|mn|22222t2x4xat8，对任意xR恒成立128t2at48t2at0或t2at80at或at对任意t1,2恒成立2ta1或a9.四、解答题2sinAcosAcos2A2tanA142115.（1）sin2Acos2A公众号：全元高考.…………………6分sin2Acos2Atan2A19221（2）由tanA22得sinA，cosA.3312△ABC的面积SbcsinAbc22，则bc6．23228由余弦定理：a2b2c22bccosAb2c2bc，得bca2bc25，所以bc5.33故△ABC的周长为8．………………………………………………………………………13分16.解析：（1）证明：AB是⊙O的直径，∴ACBC.PA平面ABC，∴PABC.又PAACA，BC平面PAC.AD平面PAC，∴BCAD.又∵ADPC，PCBCC，∴AD平面PBC.……………………………6分（2）∵PAAC，ADPC，∴D为PC的中点.以A为坐标原点，AB的垂线为x轴，AB为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系A-yz，如图所示.2223222232设PAAC2，则D(，，1)，E(，，0)，故AD(，，1)，AE(，，0).22222222平面ABC的一个法向量为m（0，0，1）.设平面ADE的一个法向量为n（x，y，z），则22xyz0ADm022，即，令x3得y1，z2即n（3，1，2）.AEm0232xy022mn26cosm，n|m||n|19126，6∴平面ADE与平面ABC所成角的余弦值为.………………………………………15分6π17.解析：(1)f(x)(cosxsinx)ex2sin(x)ex43π所以当x(0，)时，f(x)0，f(x)单调递增,43π当x(，π)时，f(x)0，f(x)单调递减.4易知函数的定义域为，……………………………………………………分(2)h(x)(1)公众号：全元高考7h(x)sinxln(x1)2x11h(x)cosx2x11当x0时，cosx1，1，h(x)0，h(x)单调递减x11当1x0时，h(x)sinx0，h(x)单调递减，h(x)h(0)0(x1)2h(x)单调递增.综上：h(x)在(1，0)上单调递增，在(0，)单调递减.hmax(x)h(0)10又x1时，h(x),h(x)在(0，)有唯一零点；x时，h(x),h(x)在(1，0)有唯一零点.（此处借助取点说明更好如：h(e1)sin(e1)ln(e)2(e1)152e0，h(x)在(0，)有唯一零点；11112h(1)sin(1)ln()2(1)10，h(x)在(1，0)有唯一零点.）e4e4e4e4e4h(x)有两个零点…………………15分118.解析：（1）由题意知抛物线C准线方程为y,所以抛物线C方程为x22y…………………4分21（2）①设切点M(x,y),N(x,y)，抛物线C方程可转化为yx2，所以yx11222因此可设直线AM方程为yy1x1(xx1)设直线AN方程为yy2x2(xx2)带入A(x0,y0)得：y0y1x1(x0x1)y0y2x2(x0x2)所以直线方程为2MNy0yx(x0x)x0xxx0x2y令x0，得yGy0，所以点G的坐标为(0,y0).………………………………………9分②设直线AM方程为yy0k1(xx0)设直线AN方程为yy0k2(xx0)考虑直线与2相切，消去得2yy0k(xx0)x2yyx2kx(2kx02y0)得2，即214k4(2kx02y0)0k公众号：全元高考2x0k2y00所以k1k22x0,k1k22y0(*式)k再联立直线yyk(xx)与y22qx，消去x得y2y(ykx)0002q002q(ykx)设交点，则0102q2q2B(x3,y3),P(x4,y4)y0y3y02px0y0y0k1k1k1所以2q，同理2qy3y0y4y0k1k2又因为2qlBP:yy3(xx3)y3y4也即：，联立2，消去(y3y4)y2qxy3y4x2yy得2(y3y4)x4qx2y3y40所以2216q8(y3y4)y3y4kk4q2kk212122代入(*式)8[2q(2q)(2qy0y0)]k1k2k1k2k1k2x2x得202q0228[2q(2q2y0)(2qy0y0)]y0y0y0代入22qx0y02得22q222228[2q(y02y0)(y0y0)]8[2q2q]0y0所以直线BP与抛物线C相切.………………………………………………………………17分119.解析：（1）由题意，XB(5,)，且X0,1,2,3,4,5，35423221800，1，P(X0)C5P(X1)C53243332433223218021402，3，P(X2)C5P(X3)C53324333243452110114，5P(X4)C5P(X5)C5.332433243所以X的分布列为：X01234532808040101P2432432432432432431110所以方差D(X)5(1).……………………………………………………………………5分339公众号：全元高考（）①在题中，为第次是甲摸球的概率，又设为第次是乙摸球的概率，设为第次是乙摸球2annbnncnn111的概率，则有abc1，且a1,b0,c0，根据题意，我们还能得到：aabcnnn111n12n4n4n1111a(bc)a(1a)，2n4nn2n4n1111112化简得：aa，a(a)，又a，n14n4n134n3133121数列{a}是以为首项，以为公比的等比数列，n334n1n1121211，即…………………………………………………………分anan.113343431②YNB(2，)，Y2，3，4，52Y的分布列为：Y2345n2345n111111111P(Y)C2C3C4Cn122222ninini1112121E(Y)limiCi1lim2Ci4limCinnni22i22i22n11又因为，时，2，，ZNB(3)P(Zn)Cn1nNn3.22ii1n1n1根据分布列的性质有22，代入上式得：limCi1limCi1nni32i22E(Y)1.………………………………………………………………………………………17分公众号：全元高考