姓名______座位号______（在此卷上答题无效）数学本试卷共4页，19题。全卷满分150分，考试时间120分钟。考生注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知双曲线的焦距为4，则该双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率为（）A. B. C. D.3.记，，，则（）A. B. C. D.4.已知空间中不过同一点的三条直线，，.“，，共面”是“，，两两相交”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知复数满足，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.6.在二项式的展开式中，下列说法正确的是（）A.常数项为 B.各项的系数和为64C.第3项的二项式系数最大 D.奇数项二项式系数和为7.在平面直角坐标系中，已知向量与关于轴对称，若向量满足，记的轨迹为，则（）A.是一条垂直于轴的直线 B.是两条平行直线C.是一个半径为1的圆 D.是椭圆8.设正数数列的前项和为，且，则（）A.是等差数列 B.是等差数列 C.单调递增 D.单调递增二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则（）012340.10.40.20.2A. B.，C.， D.，10.已知函数（，，）的部分图象如图所示，且图中阴影部分的面积为，则（）A.B.点是曲线的一个对称中心C.直线是曲线的一条对称轴D.函数在区间内单调递减11.抛物线的焦点为，准线为直线，过点的直线交抛物线于，两点，分别过，作抛物线的切线交于点，于点，于点，则（）A.点在直线上 B.点在直线上的投影是定点C.以为直径的圆与直线相切 D.的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知，则的最小值为______.13.已知三棱锥的外接球为球，为球的直径，且，，，则三棱锥的体积为______.14.“完全数”是一类特殊的自然数，它的所有正因数的和等于它自身的两倍.寻找“完全数”用到函数，为的所有正因数之和，如，则______；______.四、解答题：共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13分）已知函数的最小正周期为，且函数的图象向左平移个单位后得到的函数为偶函数.（1）求函数的解析式，并通过列表、描点在给定坐标系中作出函数在上的图象；（2）在锐角中，，，分别是角，，的对边，若，求的值域.16.（15分）篮球运动深受青少年喜爱，2024《街头篮球》全国超级联赛赛程正式公布，首站比赛将于4月13日正式打响，于6月30日结束，共进行13站比赛.（1）为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某统计部门在某地随机抽取了男性和女性各100名进行调查，得到列联表如下：喜爱篮球运动不喜爱篮球运动合计男性6040100女性2080100合计80120200依据小概率值的独立性检验，能否认为喜爱篮球运动与性别有关？（2）某校篮球队的甲、乙、丙、丁四名球员进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到.记甲第次触球的概率为，则.（i）证明：数列是等比数列；（ii）判断第24次与第25次触球者是甲的概率的大小.附：.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82817.（15分）如图，在圆台中，，分别为上、下底面的直径，且，，为异于，的一条母线.（1）若为的中点，证明：平面；（2）若，，，求二面角的正弦值.18.（17分）已知函数，其中.（1）若曲线在点处的切线方程为，求的最小值；（2）若对于任意均成立，且的最小值为1，求实数.19.（17分）如图，各边与坐标轴平行或垂直的矩形内接于椭圆，其中点，分别在第三、四象限，边，与轴的交点为，.（1）若，且，为椭圆的焦点，求椭圆的离心率；（2）若是椭圆的另一内接矩形，且点也在第三象限，若矩形和矩形的面积相等，证明：是定值，并求出该定值；（3）若是边长为1的正方形，边，与轴的交点为，，设（，，…，）是正方形内部的100个点，记，其中，，，.证明：，，，中至少有两个小于81.数学参考答案及评分标准一、二、选择题：题号1234567891011答案ABCBDACDBDABCBCD【解析】1.依题意，，因此，选项A正确2.因为双曲线的焦距为4，所以，解得，所以则该双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率为，选项B正确.3.显然，，，故选项C正确.4.依题意，直线，，不过同一点，因此，若“，，两两相交”则必有“，，共面（由三个交点确定的平面）”，但若“，，共面”，有可能有两条直线平行，与第三条之间分别相交，但此时，“，，两两相交”结论错误，故选项B正确.5.因为，所以，从而，选项D正确.6.的展开式通项为，当时，常数项为，选项A正确；令，得各项的系数和为，选项B错误；展开式共7项，二项式系数最大应为第4项，故选项C错误；依题意奇数项二项式系数和为，选项D错误.7.不妨设点的坐标为，，，由可得，即，故选项C正确.8.依题意，令，解得，从而，，，易知选项D正确.9.因为，所以，A选项错误；由，而，故，因此选项B正确；又，所以，，，故C错D对.10.由题意，，，所以，即，又，所以，可得，因此.显然，函数周期为，，选项A正确；因为，所以选项B正确，，选项C正确；若，即，则，函数先减再增，D错误.11.依题意焦点的坐标为，准线为直线，不妨设，，直线的方程为，联立与，得，从而，，由题意，，，故抛物线过点，的切线方程分别为，，解得点的坐标为，故A错误；因为，所以，即点在直线上的投影是点（定点），故选项B正确；可证，，因此，即以为直径的圆与直线相切，选项C正确；对于选项D，因为，，从而，令，由函数单调性易知，，函数取最小值.D正确.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。12.2013.14.；.（第一空2分，第二空3分）【解析】12.依题意，，，所以，等号成立当且仅当.13.如图，易知，，作于点，易知，，，，故三棱锥的体积为.14..四、解答题：15.（13分）解：（1）函数的最小正周期，，向左平移后为偶函数，且，，故解析式为.列表如下：00100在上的图象如图所示：（2），，即，解得，即，又因为是锐角三角形，所以，故，即.16.（15分）解：（1）假设：喜爱篮球运动与性别独立，即喜爱篮球运动与性别无关.根据列联表数据，经计算得，依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即能认为喜爱篮球运动与性别有关，从此推断犯错误的概率不超过0.001.（2）（i）由题意，，所以又，所以是以为首项，为公比的等比数列.（ii）由（i），，所以，.故甲第25次触球者的概率大.17.（15分）解：（1）证明：连接.因为，分别为上、下底面的直径，且.所以，，为圆台母线且交于一点.因此，，，四点共面.因为圆台中平面平面，平面平面，平面平面，所以，又因为，，所以，从而，即为的中点.在中，为的中点，所以.因为平面，平面，所以平面.（2）以为坐标原点，，分别为，轴，过点且垂直与平面的直线为轴，建立空间直角坐标系.因为，所以，所以，，，因为，所以，故，所以，设平面的法向量为，则即，所以平面的一个法向量为.又，设平面的法向量为，所以即所以平面的一个法向量为.设二面角的大小为，则，从而，所以二面角的正弦值为.18.（17分）解：（1）①由题意，且的定义域为，依题意即从而.故，，从而函数在上单调递减，在上单调递增，所以.（2）依题意，，其中，记，则，因为，，即是的极小值也是最小值，故，而，所以，解得，此时，若，则时，，，，，即，与矛盾！若，，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，符合题意.故.所以，其中.若即时，则函数在上最小值为，依题意，解得，符合题意；若即时，则函数在上最小值为，依题意，即，无解，不符合题意.所以，.19.（17分）解：（1）依题意，，，所以.（2）设，，由题意，矩形和矩形的面积相等，所以，即，而，（*）从而上式化为，整理可得，代入（*）式，，故，即为定值，且该定值为.（3）如图，以，的中点为焦点构造经过，，，的椭圆，对于点，连接并延长，与该椭圆交于点，连接，则.因而，中至少有一个小于81，同理，中至少有一个小于81，故，，，中至少有两个小于81.（以上答案仅供参考，其它解法请酌情赋分）