邵阳市二中2024年高三（5月）模拟考试数学试卷满分：150时间120min命题：高三备课组一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数，则（）A. B. C. D.2.若数列满足，，则其前2023项和为（）A.1360 B.1358 C.1350 D.13483.已知底面边长为2的正四棱柱的体积为，则直线与所成角的余弦为（）A. B. C. D.4.已知直线：与圆：，过直线上的任意一点作圆的切线，，切点分别为，，则的最大值为（）A. B. C. D.5.邵阳市二中高一、高二、高三年级的优秀团员各两名站成一排拍照，恰有一个年级的团员相邻的站法有（）A.144种 B.240种 C.288种 D.336种6.某学习小组对一组数据进行回归分析，甲同学首先求出回归直线方程，样本点的中心为.乙同学对甲的计算过程进行检查，发现甲将数据误输成，将这两个数据修正后得到回归直线方程，则实数（）A. B. C. D.7.若过点可以作曲线的两条切线，则（）A. B. C. D.8.已知，分别是双曲线：的左、右焦点，为坐标原点，过的直线分别交双曲线左、右两支于，两点，点在轴上，，平分，与其中一条渐近线交于点，则（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.已知，，，则（）A. B. C. D.10.如图，已知抛物线：的焦点为，抛物线的准线与轴交于点，过点的直线（直线的倾斜角为锐角）与抛物线相交于，两点（在轴的上方，在轴的下方），过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，直线与抛物线的准线相交于点，则（）A.当直线的斜率为1时， B.若，则直线的斜率为2C.存在直线使得D.若，则直线的倾斜角为11.已知非零函数及其导函数的定义域均为，函数和均为奇函数，且，则（）A.函数为偶函数 B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.，，则________.13.已知数列与均为等差数列，且，则________.14.十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔・德・费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”，意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.已知，，分别是三个内角，，的对边，且，若点为的费马点，，则实数的取值范围为________.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（本小题满分13分）古楼雪峰茶，产于洞口县古楼，1991年被评为湖南省名茶.其中雪峰茶在制茶过程中，在采摘后还需要经过杀青、揉捻、干燥这三道工序.现在某雪峰茶厂将采摘后的茶叶进行加工，其中杀青、揉捻、干燥这三道工序合格的概率分别为，，每道工序的加工都相互独立，且茶叶加工中三道工序至多有两道工序合格的概率为.三道工序加工都合格的雪峰茶为特级雪峰茶，恰有两道工序加工合格的雪峰茶为一级雪峰茶，恰有一道工序加工合格的雪峰茶为二级雪峰茶，其余的为不合格雪峰茶.（1）在雪峰茶的三道工序中恰有两道工序加工合格的前提下，求杀青加工合格的概率；（2）每盒雪峰茶原材料及制作成本为20元，其中特级雪峰茶、一级雪峰茶、二级雪峰茶的出厂价分别为100元，70元，50元，而不合格雪峰茶则不进入市场.记经过三道工序制成的一盒雪峰茶的利润为元，求随机变量的分布列及数学期望.16.（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，且，，.，分别为，的中点..（1）若.求证：平面平面；（2）若，.求直线与平面所成角的正弦值.17.（本小题满分15分）已知函数（1）若，求的单调区间.（2）若对，恒成立，求实数的取值范围18.（本小题满分17分）在平面中，，.为平面内一动点，且直线与的斜率乘积为，动点在平面的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程（2）若为直线上任意一点，直线，分别交曲线为、.在直线上存在一点，且.问：在平面内是否存在一点，使得为定值？若存在，求出定值.若不存在，请说明理由.19.（本小题满分17分）高中教材必修第二册选学内容中指出：设复数对应复平面内的点，设，，则任何一个复数都可以表示成：的形式，这种形式叫做复数三角形式，其中是复数的模，称为复数的辐角，若，则称为复数的辐角主值，记为。复数有以下三角形式的运算法则：若，则：，特别地，如果，那么，这个结论叫做棣莫弗定理。请运用上述知识和结论解答下面的问题：（1）求复数，的模和辐角主值（用表示）；（2）设，，若存在满足，那么这样的有多少个？（3）求和：