黄金冲刺大题03立体几何1．（2024·黑龙江·二模）如图，已知正三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，M是BC的中点，N是的中点，P是的中点．  (1)证明：平面；(2)求点P到直线MN的距离．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）建立如图空间直角坐标系，设平面的一个法向量为，利用空间向量法证明即可；（2）利用空间向量法即可求解点线距.【详解】（1）由题意知，平面，，而平面，所以，在平面内过点A作y轴，使得y轴，建立如图空间直角坐标系，则，得，所以，设平面的一个法向量为，则，令，得，所以，所以，又不在平面内即平面；（2）如图，连接，由（1）得，则，，所以点到直线的距离为.  2．（2024·安徽合肥·二模）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是侧棱的中点，侧面为正三角形，侧面底面．(1)求三棱锥的体积；(2)求与平面所成角的正弦值．【答案】(1)(2)．【分析】（1）作出辅助线，得到线线垂直，进而得到线面垂直，由中位线得到到平面的距离为，进而由锥体体积公式求出答案；（2）证明出，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而由法向量的夹角余弦值的绝对值求出线面角的正弦值.【详解】（1）如图所示，取的中点，连接．因为是正三角形，所以．又因为平面底面平面，平面平面，所以平面，且．又因为是的中点，到平面的距离为，，所以三棱锥的体积为．（2）连接，因为，所以为等边三角形，所以，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以．设平面的法向量为，则，即，解得，取，则，所以．设与平面所成角为，则．即与平面所成角的正弦值为．3．（2023·福建福州·模拟预测）如图，在三棱柱中，平面平面，．  (1)设为中点，证明：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，根据平面平面得出平面，，利用勾股定理得出，从而证明平面；（2）建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，求出平面的法向量和平面的一个法向量，利用向量求平面与平面的夹角余弦值．【详解】（1）证明：因为为中点，且，所以在中，有，且，又平面平面，且平面平面，平面,所以平面，又平面，则，由，，得，因为，，，所以由勾股定理，得，又，平面，所以平面；（2）如图所示，以为原点，建立空间直角坐标系，可得，则，设平面的法向量为，由，令，得，，所以,由（1）知，平面，所以平面的一个法向量为，记平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为．  4．（2024·山西晋中·三模）如图，在六面体中，，，且，平行于平面，平行于平面，.(1)证明：平面平面；(2)若点到直线的距离为，为棱的中点，求平面与平面夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）设平面与直线交于点，使用线面平行的性质，然后用面面垂直的判定定理即可；（2）证明平面，然后构造空间直角坐标系，直接用空间向量方法即可得出结果.【详解】（1）设平面与直线交于点，连接，则平面与平面的交线为，平面与平面的交线为，因为平行于平面，平面，平面和平面的交线为，所以．同理，所以四边形是平行四边形，故，.因为，，所以，又，所以为棱的中点在中，，，所以，由于，故.而，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面（2）由（1）可知，平面，又平面，所以.而点到直线的距离为，故.在等腰直角三角形中，由得在等腰三角形中，由，，得.在平行四边形中，，，，由余弦定理得，所以，所以.因为，所以.因为平面平面，平面和平面的交线为，在平面内.所以平面如图，以为坐标原点，分别为轴正方向，建立空间直角坐标系.则.所以设平面的法向量为，则，即.则可取，得.设平面的法向量为，则，即.取，则．设平面与平面的夹角为，则.所以平面与平面夹角的余弦值为5．（2024·辽宁·二模）棱长均为2的斜三棱柱中，在平面ABC内的射影O在棱AC的中点处，P为棱（包含端点）上的动点．(1)求点P到平面的距离；(2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．【答案】(1)；(2).【分析】（1）以O为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用点到平面距离的向量求法求解即得.（2）由向量共线求出向量的坐标，再利用线面角的向量求法列出函数关系，并求出函数的值域即可.【详解】（1）依题意，平面ABC，(底面为正三角形)，且，以O为原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，则，，，，由，平面，平面，则平面，即点P到平面的距离等于点到平面的距离，设为平面的一个法向量，由，取，得，因此点到平面的距离，所以点P到平面的距离为．（2）设，，则，由，得为平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则，令，则，，则，由，得，于是，，则，所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围是.6．（2024·重庆·模拟预测）在如图所示的四棱锥PABCD中，已知，，，是正三角形，点M在侧棱PB上且使得平面．(1)证明：；(2)若侧面底面，与底面所成角的正切值为，求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)．【分析】（1）连接BD与AC交于点E，连接EM，由已知得，由线面平行的性质得，根据三角形相似可得，即（2）设AB的中点O，首先由已知得底面ABCD，在中过点M作交AB于点F，得底面ABCD，则为CM与底面ABCD所成角，在底面ABCD上过点O作于点G，则是二面角的平面角，根据条件求解即可【详解】（1）证明：连接BD与AC交于点E，连接EM，在与中，∵，∴，由，得，又∵平面AMC，而平面平面，平面PBD，∴，∴在中，，∴；（2）设AB的中点O，在正中，，而侧面底面，侧面底面，且平面，∴底面ABCD，在中过点M作交AB于点F，∴底面ABCD，∴为CM与底面ABCD所成角，∴，设，则，∴，，则在直角梯形ABCD中，，而，则，在底面ABCD上过点O作于点G，则是二面角的平面角，易得，，在梯形ABCD中，由，得，在中，，∴．7．（2024·安徽·模拟预测）2023年12月19日至20日，中央农村工作会议在北京召开，习近平主席对“三农”工作作出指示．某地区为响应习近平主席的号召，积极发展特色农业，建设蔬菜大棚．如图所示的七面体是一个放置在地面上的蔬菜大棚钢架，四边形ABCD是矩形，m，m，m，且ED，CF都垂直于平面ABCD，m，，平面平面ABCD．(1)求点H到平面ABCD的距离；(2)求平面BFHG与平面AGHE所成锐二面角的余弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）取的中点，证得平面平面，得到，再由平面平面，证得，得到平行四边形，得到，求得，结合平面，即可求解；（2）以点为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）如图所示，取的中点，连接，因为，可得，又因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面，同理可得：平面，因为平面，所以，又因为平面，平面，所以平面，因为，且平面，平面，所以平面，又因为，且平面，所以平面平面，因为平面与平面和平面于，可得，又由，，且和，所以平面平面，因为平面与平面和平面于，所以，可得四边形为平行四边形，所以，因为，所以，在直角，可得，在直角梯形中，可得，因为平面，所以点到平面的距离为.（2）解：以点为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，可得，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，则，即平面与平面所成锐二面角的余弦值.8．（2024·重庆·模拟预测）如图，ACDE为菱形，，，平面平面ABC，点F在AB上，且，M，N分别在直线CD，AB上．(1)求证：平面ACDE；(2)把与两条异面直线都垂直且相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，若，MN为直线CD，AB的公垂线，求的值；(3)记直线BE与平面ABC所成角为，若，求平面BCD与平面CFD所成角余弦值的范围．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）先通过余弦定理及勾股定理得到，再根据面面垂直的性质证明；（2）以C为原点，CA的方向为x轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，利用向量的坐标运算根据，列方程求解即可；（3）利用向量法求面面角，然后根据列不等式求解.【详解】（1），，所以，，，，则，又因为平面平面ABC，平面平面面，故平面ACDE；（2）以C为原点，CA的方向为x轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，由，可得，，所以所以，，设，则，设，则，，由题知，，解得，，故；（3），设，则，，可取平面ABC的法向量，则，，则，整理得，故，，，，记平面CDF的法向量为，则有，可得，记平面CBD的法向量为，则有，可得，记平面BCD与平面CFD所成角为，则，，所以，，故．9．（2024·安徽·二模）将正方形绕直线逆时针旋转，使得到的位置，得到如图所示的几何体．(1)求证：平面平面；(2)点为上一点，若二面角的余弦值为，求．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据面面与线面垂直的性质可得，结合线面、面面垂直的判定定理即可证明；（2）建立如图空间直角坐标系，设，，利用空间向量法求出二面角的余弦值，建立方程，结合三角恒等变换求出即可.【详解】（1）由已知得平面平面，，平面平面，平面，所以平面，又平面，故，因为是正方形，所以，，平面，，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）由（1）知，，两两垂直，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图.设，，则，，，，故，，设平面的法向量为，则，故，取，则，所以设平面的法向量为，，故，取，则，所以，所以，由已知得，化简得：，解得或（舍去）故，即.10．（2024·安徽黄山·二模）如图，已知为圆台下底面圆的直径，是圆上异于的点，是圆台上底面圆上的点，且平面平面，，，是的中点，．(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取AC的中点O，根据面面垂直的性质定理，可得平面，即可求证，进而可证矩形，即可根据线线平行以及平行的传递性求解.（2）建系，利用向量法，求解法向量与方向向量的夹角，即可求解．【详解】（1）证明：取的中点为，连接，，，，为中点，，又平面平面，且平面平面，平面,平面，，，故四边形为矩形，，又，分别是，的中点，，；（2）是圆上异于，的点，且为圆的直径，，，如图以为原点建立空间直角坐标系，由条件知，,0,,,4,,,0,,，，设,,，，，由，得，，，，设平面法向量为，则，取，设直线与平面所成角为，则直线与平面所成角的正弦值为．11．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）正四棱台的下底面边长为，，为中点，已知点满足，其中．  (1)求证；(2)已知平面与平面所成角的余弦值为，当时，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）方法一运用空间向量的线性运算，进行空间位置关系的向量证明即可.方法二：建立空间直角坐标系，进行空间位置关系的向量证明即可.（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即可.【详解】（1）方法一：∵，∴．∵∴∴．∴，即．方法二：以底面ABCD的中心O为原点，以OM方向为y轴，过O点平行于AD向前方向为x轴，以过点O垂直平面ABCD向上方向为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设正四棱台的高度为h，则有  ，，，，，，，，，．故，所以．（2）设平面ABCD的法向量为，设平面的法向量为，，，则有，即，令，则．又题意可得，可得．因为，经过计算可得，，．将代入，可得平面的法向量．设直线DP与平面所成角的为θ．12．（2024·辽宁·三模）如图，在三棱柱中，侧面底面，，点为线段的中点.(1)求证：平面；(2)若，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见详解(2)【分析】（1）连接，交于点，连接，利用线面平行的判定定理证明；（2）由已知可知，为等边三角形，故，利用面面垂直的性质定理可证得底面，进而建立空间直角坐标系，利用向量法即可求二面角余弦值.【详解】（1）连接，交于点，连接，因为侧面是平行四边形，所以为的中点，又因为点为线段的中点，所以，因为面，面，所以面.（2）连接，，因为，，所以为等边三角形，，因