武汉市2024届高三年级五月模拟训练试题数学试卷武汉市教育科学研究院命制2024.5.21本试题卷共4页，19题，全卷满分150分。考试用时120分钟。★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A=[0,a]，B=(2,3)，若ABI=Æ，则（）A.00，w>0，0e2D.对任意正实数x1，x2，且x1¹x2，若fx1=fx2，则x1x2>e三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知复数z满足|z-i|=2，则|z|的最小值为______.1+tana13.已知=3，则sin4a+cos4a=______.1-tana14.已知正四棱台的上底面与下底面的边长之比为1:2，其内切球的半径为1，则该正四棱台的体积为.______.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13分）已知f(x)=-f¢(1)x2+x+2lnx.（1）求f¢(1)并写出f()x的表达式；（2）证明：f(x)£x-1.16.（15分）如图，已知四棱锥P-ABCD中，PA^平面ABCD，四边形ABCD中，ÐABC=90°，AB//CD，AB=1，BC=1，CD=2，点A在平面PCD内的投影恰好是△PCD的重心G.（1）证明：平面PAB^平面PBC；（2）求直线DG与平面PBC所成角的正弦值.17.（15分）已知双曲线E:x2-y2=1，直线PQ与双曲线E交于P，Q两点，直线MN与双曲线E交于M，N两点.（1）若直线MN经过坐标原点，且直线PM，PN的斜率kPM，kPN均存在，求kPMkPN；uuruuuruuuruuur（2）设直线PQ与直线MN的交点为T(1,2)，且TP×TQ=TM×TN，证明：直线PQ与直线MN的斜率之和为0.学科网（北京）股份有限公司18.（17分）某企业生产一种零部件，其质量指标介于(49.6,50.4)的为优品.技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布N(50,0.16)；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布N(50,0.04).附：若XN~m,s2，取PX(|-m|0，于是F()x在[0,1]单调递增；当x³1时，F¢(x)£0，于是F()x在[1,+¥]单调递减，所以Fmax(x)=F(1)=0，于是F(x)£F(1)=0，所以f(x)£x-1.16.（1）证：QPA^平面ABCD，BCÌ平面ABCD，\PA^BC，又QÐABC=90°，\AB^BC，QPA与AB相交于A点，\BC^平面PAB，又QBC^平面PBC，\平面PAB^平面PBC.（2）解：取CD中点E，CE//AB，\四边形ABCD是平行四边形\AE//BC\AE^AB，AE^AP.QPA^平面ABCD，ABÌ平面ABCD，\PA^AB.如图所示，以A为原点，AB，AE，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.学科网（北京）股份有限公司此时，A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(-1,1,0)，E(0,1,0).连PE，QG为△PCD的重心，\G在线段PE内且PE=3GE.设GE=a，PE=3a，PG=2a，2QAEÌ平面ABCD，\PA^AE，\PA=9a-1.由题意知，AG^平面PCD，222又QPEÌ平面PCD，\AG^PE，\PA=PG×PE，即9a-1=6a，3解得a=，\PA=2，\P(0,0,2).3uuur2uuur由于G是△PCD的重心，所以PG=PE，3æ22öuuuræ12öuuuruuur于是，，，Gç0,,÷\DG=ç1,-,÷PB=(1,0,-2)BC=(0,1,0).è33øè33øuuurïìnr×PB=x-2z=0设nr=(,,)xyz是平面PBC的法向量，则íruuurîïn×BC=y=0令z=1，x=2，nr=(2,0,1).设直线DG与平面PBC所成角为q，则ruuurruuurn×DG22sinq=|cos|=uuur=.|nr||DG|322所以直线DG与平面PBC所成角的正弦值为.317.解：（1）当直线MN经过坐标原点时，M，N两点关于原点对称.设Mx1,y1，N--x1,y1，Px0,y0，y0-y1y0+y1于是kPM=，kPN=.x0-x1x0+x1因为M，N，P三点都在双曲线x2-y2=1，22ïìx0-y0=1所以，í22îïx1-y1=12222两式作差，x0-x1=y0-y1，所以22y0-y1y0+y1y0-y1kPMkPN=×=22=1.x0-x1x0+x1x0-x1学科网（北京）股份有限公司（2）已知T(1,2)，可设直线MN:y-2=k1(x-1)，直线PQ:y-2=k2(x-1)，Mx1,y1，Nx2,y2，Px3,y3，Qx4,y4.uuuruuurTM=x1-1,y1-2，TN=x2-1,y2-2.ìy-2=k1(x-1)联立直线MN方程与双曲线E的方程：.í22îx-y=12整理得，22，当2时，1-k1x+2k1k1-2x-k1-2-1=01-k1¹0D>0.2kk-2---k221x+x=-11，xx=1.1221221-k11-k1于是，uuuruuurTM×TN=x1-1x2-1+y1-2y2-22=1+k1ëéx1x2-x1+x2+1ûùé2ù2----k1212k1k12=1+k1ê2+2+1ú1--k1këê11ûú2-4=1+k1×21-k1uuruuur2-4同理可得，TP×TQ=1+k2×2.1-k2uuuruuuruuruuur1+k21+k2因为，所以12TM×TN=TP×TQ2=21--k11k222整理得，k1=k2，而k1¹k2，所以k1+k2=0.18.解：（1）技术改造前，易知m1=50，s1=0.4，则其优品率为PX(49.6<<50.4)=；技术改造后，，，则其优品率PXPXm1-s1<0，所以可靠性提高.②方法一：根据上一问的假设，易知X~B(n,p)，Y~B(n+1,p).当n为奇数时，设n=2k-1k³2,kÎN*，原系统的可靠性为P()X³k，新系统的可靠性为P(Y³k+1)，由题意可知，P(Y³k+1)=P(X³k+1)+p