合肥一中2024届高三最后一卷数学参考答案1．已知向量a=(2,3)，b=(−1,3)，则ab−=2（）A．2B．3C．4D．5【答案解析】ab−2=(2,3)−−(2,6)=(4,−3),ab−2=5，选D2．已知复数z满足zi⋅+=−(1)2i，则z=（）13131313A．+iB．−iC．−−iD．−+i222222222−i1313【答案解析】z==−=+iz，i，∴选A1+i222223．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，焦距为22，则该椭圆的方程为（）3x2x2xy22xy22A．+=y21B．+=y21C．+=1D．+=139973628c22xy22【答案解析】==,aa=3,22=9,b=−=927,+=1，选Ca3a974．已知等比数列{}an的前n项和为Sn，且S3=14，a3=2，则a4=（）222A．1B．或-1C．−D．−或1333112【答案解析】由S=14，a=2，∴=q或qa=−∴=,−或1，∴选D33234315−α5．已知α为三角形的内角，且cosα=，则sin=（）42−+1515+35−35−A．B．C．D．4484αα1−cos3++515【答案解析】sin===，选B2284合肥一中2024届高三最后一卷·数学参考答案第1页（共12页）{#{QQABJYSUggCAAIAAARhCUwXgCAOQkACCCCoOBEAMMAIACBFABAA=}#}6．甲乙丙丁戊5名同学坐成一排参加高考调研，若甲不在两端且甲乙不相邻的不同排列方式的个数为（）A．36种B．48种C．54种D．64种【答案解析】先考虑甲乙不相邻的不同排列方式数，再减去甲站在一端且甲乙不相邻的32113排列方式数，所以总数为AA34−=AAA23336种，选A7．已知四棱锥P−ABCD的各顶点在同一球面上，若AD=2224AB=BC=CD=，∆PAB为正三角形，且面PAB⊥面ABCD，则该球的表面积为（）1352A．πB．16πC．πD．20π333【答案解析】如图，OE=FG=,2AE=，3313∴=R2OE2+AE2=()222+=，3352∴=SR4ππ2=，故选C.3π8．过Mp(0,)且倾斜角为αα(∈(,π))的直线l与曲线C:2x2=py交于AB,两点，分2别过AB,作曲线C的两条切线ll12,，若ll12,交于N，若直线MN的倾斜角为β．则tan(αβ−)的最小值为（）2A．B．2C．22D．422【答案解析】如图设Nx(,00y)，则lAB为xx00=py()+y且过Mp(0,)，x∴=−yp且k=tanα=0，0p'2p又设k=tanβ=−，∴=−kk'2，x0tanαβ−tan∴tan(αβ−=)1+tanαβtankk−'2==−(k)+−()≥22，1+kk'k当且仅当k=−2时“=”成立，故选C合肥一中2024届高三最后一卷·数学参考答案第2页（共12页）{#{QQABJYSUggCAAIAAARhCUwXgCAOQkACCCCoOBEAMMAIACBFABAA=}#}9.下表是某人上班的年收入(单位：万元)与上班年份的一组数据：年份x1234567收入y2.93.33.64.44.85.25.9则下列命题正确的有（）A．年收入的均值为4.3B．年收入的方差为1.2C．年收入的上四分位数为5D．若y与x可用回归直线方程y=0.5xa+来模拟，则a=2.330.1【答案解析】y==4.3，A正确；71.96++++++10.490.010.250.812.567.08s2==≠1.2，B错误；777×=0.755.25，所以上四分位数为5.2，C错误；ay=−0.5x=4.3−0.5×=42.3，D正确；故选AD10．已知函数fx()=3sinωxcosωx−>sin2ωωx(0)，则下列命题正确的有（）5A．当ω=2时，x=π是y=fx()的一条对称轴241B．若|fx()−=fx()|2，且||xx−=π，则ω=1212min2πC．存在ω∈(0,1)，使得的图像向左平移个单位得到的函数为偶函数67D．若fx()在[0,π]上恰有5个零点，则ω的范围为[2,)3π1【答案解析】fx()=sin(2ωx+−)62π151对于A，当ω=2时，fx()=sin(4x+−)，f()π=−，622425∴=xπ不是y=fx()的一条对称轴，241对于B，由题意知，T=2π，∴=ω2合肥一中2024届高三最后一卷·数学参考答案第3页（共12页）{#{QQABJYSUggCAAIAAARhCUwXgCAOQkACCCCoOBEAMMAIACBFABAA=}#}ππ11ωππ对于C，gx()=sin(2ωω(x++−=))sin(2x++−)，662362ωπππ若gx()为偶函数，则+=+kπ，∴ω=13+k，矛盾362ππππ25ππ29对于D，令t=2ωx+∈[,2ωπ+]，由题意知，2ωπ+∈[,)6666667∴∈ω[2,)3故选BD11．已知函数fx()=ex，gx()=−lnx，则下列命题正确的有（）1A．若g()x≥ax恒成立，则a≤−eB．若y=fx()与y=ax−1相切，则ae=2C．存在实数a使得y=f()x−ax和y=g()x+ax有相同的最小值D．存在实数a使得方程fx()−=xa与x+=gx()a有相同的根且所有的根构成等差数列【答案解析】lnxlnxlnx−1对于A，由g()x≥ax得a≤−，令hx()=−，则hx'()=xxx21∴y=hx()在(0,e)单调递减，(,e+∞)单调递增，∴a≤==−h()xhe()合肥一中高三最后一卷minex0xx00对于B，设切点为Px(,0e)，则切线方程为ye−=e()xx−0，即xx00y=+−exe(1x0)，eax0=又y=ax−1，∴，∴aa(1−ln)=−∗1()x0ex(1−=−0)1ae=2不满足()∗式，∴B错，对于C，易知当a=1时y=f()x−ax和y=g()x+ax有相同的最小值1，合肥一中2024届高三最后一卷·数学参考答案第4页（共12页）{#{QQABJYSUggCAAIAAARhCUwXgCAOQkACCCCoOBEAMMAIACBFABAA=}#}对于D，令hx()=f()x−=xex−x，令ϕ()x=gx()+=−xxlnx，则hx(),()ϕx的图象大致如下：设交点为M(mhm,())，易知01<2bcAbcacos=+−222,bc22++bc22aa2>>,.2215.正方体ABCD−A111BCD1的棱长为2，P是线段AB1上的动点.（1）求证：平面BDD11B⊥平面A11BC；6（2）PB1与平面A11BC所成的角的正弦值为，求PB的长.3【答案解析】（1）证明：由题，DD1⊥面ABCD1111，四边形ABCD1111为正方形，所以AC11⊥⊥BD11,AC11DD1，而BD11∩=DD1D1,BD11⊂面BDD11B，DD1⊂面合肥一中2024届高三最后一卷·数学参考答案第6页（共12页）{#{QQABJYSUggCAAIAAARhCUwXgCAOQkACCCCoOBEAMMAIACBFABAA=}#}BDD11B，所以AC11⊥面BDD11B，而AC11⊂面A11BC，所以平面BDD11B⊥平面A11BC.…………………………………………………………………………6分（2）设B1在面A11BC上的射影点为E，连接EP,EB1，3，S∆=××=222223A11BC4=11123VVB−−ABCBABC，即×23×EB1=××××222，得EB=,11111133213设PB1与平面A11BC所成的角的大小为θ，则236EB，sinθ==1=33PB11PB所以，在中，由余弦定理得，PB1=2∆BPB1πPB2=BB22+PB−2BB××PBcos，1114即2=+−4PB222PB，解得PB=2.…………………………………………13分16．甲和乙进行中国象棋比赛，每局甲赢或输的概率分别为0.8，0.2，且每局比赛相互独立.（1）若比赛采取三局两胜制，且乙已经赢得比赛，则比赛需要的局数X的数学期望EX()为多少?(保留小数点后一位)（2）由于甲、乙实力悬殊，乙提出“甲赢5局之前乙赢2局则乙胜”，求乙胜的概率.【答案解析】（1）PA()=×+××+××=0.20.20.20.80.20.80.20.20.104，0.2×0.2(0.2××0.20.8)×2所以EX()=×2+×3≈2.615≈2.6.………………7分0.1040.104合肥一中2024届高三最后一卷·数学参考答案第7页（共12页）{#{QQABJYSUggCAAIAAARhCUwXgCAOQkACCCCoOBEAMMAIACBFABAA=}#}（2）设p0=0.2，则21121314PApCpppCpppCpppCppp()=+−+−+−02000300040005000[(1)][(1)][(1)]+−[(1)]2234=p0[1+−2(1pp00)+−3(1)+−4(1p0)+−5(1p0)]=×=0.048.6160.34464.……………………………………………………………………………………………15分17.fx()=exa−(a∈R).（1）若fx()的图象在点Ax(00,f(x))处的切线经过原点，求x0；（2）对任意的x∈[0,+∞)，有fx()≥sinx，求a的取值范围.【答案解析】−xa0−xa−xa0−e0（1）fx′()=e，所以fx′()0=e=，所以x0=1；………………5分x0−0（2）即exa−−sinxx≥0(∀≥0)，令gx()=exa−−sinx，若a≤0，则x−≥≥a0,exa−−1,gx()=−≥−≥exasinx1sinx0,合题；…………7分若a>