2024青岛三模数学试题一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足,则‾的虚部为（）A.B.C.-1D.12.已知命题./,则（）A../B../C../D../3.为了得到的图象,只要把√的图象上所有的点（）A.向右平行移动个单位长度B.向左平行移动个单位长度C.向右平行移动个单位长度D.向左平行移动个单位长度4.某校高一有学生980人,在一次模拟考试中这些学生的数学成绩服从正态分布(),已知(),则该校高一学生数学成绩在110分以上的人数大约为（）A.784B.490C.392D.2945.定义,-表示不超过的最大整数.例如:,-,-,则（）A.,-,-,-B.,-,-C.(),-是偶函数D.(),-是增函数6.在母线长为4,底面直径为6的一个圆柱中挖去一个体积最大的圆锥后,得到一个几何体,则该几何体的表面积为（）A.B.C.D.7.已知函数()()(),则满足不等式()()的取值范围为（）A.()B.()C.()D.()8.已知为坐标原点,椭圆()的左,右焦点分别为,左、右顶点分别为,焦距为,以为直径的圆与椭圆在第一和第三象限分别交于两点.且⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗√,则椭圆的离心率为（）√√√A.B.√C.D.1{#{QQABJQIEogCgAIIAAAgCEwFiCEAQkACACagGxBAMIAABQRFABAA=}#}二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分9.某新能源车厂家2015-2023年新能源电车的产量和销量数据如下表所示年份201520162017201820192020202120222023产量(万台)3.37.213.114.818.723.736.644.343.0销量(万台)2.35.713.614.915.015.627.129.731.6销量记“产销率”年新能源电车产量的中位数为,则（）产量A.B.2015-2023年该厂新能源电车的产销率与年份正相关C.从2015-2023年中随机取1年,新能源电车产销率大于的概率为D.从2015-2023年中随机取2年,在这2年中新能源电车的年产量都大于的条件下,这2年中新能源电车的产销率都大于的概率为10.已知动点分别在圆()()和()()上,动点在轴上,则（）A.圆的半径为3B.圆和圆相离C.||||的最小值为√D.过点做圆的切线,则切线长最短为√11.若有穷整数数列()满足:*+(),且,,则称具有性质.则（）A.存在具有性质的B.存在具有性质的C.若具有性质,则中至少有两项相同D.存在正整数,使得对任意具有性质的,都有中任意两项均不相同三、填空题:本题共3个小题,每小题5分,共15分.12.已知等差数列*+的公差,首项是与的等比中项,记为数列*+的前项和,则2{#{QQABJQIEogCgAIIAAAgCEwFiCEAQkACACagGxBAMIAABQRFABAA=}#}13.如图,函数()√()()的部分图象如图所示,已知点为()的零点,点为()的极值点,⃗⃗⃗⃗⃗|⃗⃗⃗⃗⃗|,则函数()的解析式为_________.14.已知长方体中,,点为矩形内一动点,记二面角的平面角为,直线与平面所成的角为,若,则三棱锥体积的最小值为_________.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤15.(13分)设的内角的对边分别为()√(1)求角的大小;(2)若边上的高为√。求的周长16.(15分)为了研究高三年级学生的性别和身高是否太于的关联性,随机调查了某中学部分高三年级的学生,整理得到如下列联表(单位:人):性別身高合计低于不低于女14519男81018合计221537(1)依据的独立性检验,能否认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联?(2)从身高不低于的15名学生中随机抽取三名学生,设抽取的三名学生中女生人数为,求的分布列及期望().(3)若低于的8名男生身高数据的平均数为‾,方差为,不低于的10名男生身高数据的平均数为‾,方差为.请估计该中学男生身高数据的平均数和方差.()附:.()()()()0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.8283{#{QQABJQIEogCgAIIAAAgCEwFiCEAQkACACagGxBAMIAABQRFABAA=}#}17.(15分)如图所示,多面体,底面是正方形,点为底面的中心,点为的中点,侧面与是全等的等腰梯形,,其余棱长均为2.(1)证明:平面;(2)若点在棱上,直线与平面所成角的正弦值为√,求18.(17分)在平面内,若直线将多边形分为两部分,多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等.则称为多边形的一条“等线”,已知为坐标原点,双曲线()的左、右焦点分别为的离心率为2点为右支上一动点,直线与曲线相切于点且与的渐近线交于两点.当轴时,直线为的等线(1)求的方程;(2)若√是四边形的等线,求四边形的面积;(3)设⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,点的轨迹为曲线,证明:在点处的切线为的等线19.(17分)已知为坐标原点,曲线()在点()处的切线与曲线()在点()处的切线平行,且两切线间的距离为√,其中.(1)求实数的值;(2)若点分别在曲线()()上,求与之和的最大值;(3)若点在曲线()上,点在曲线()上,四边形为正方形,其面积为,证明:.√/附:ln2≈0.693.4{#{QQABJQIEogCgAIIAAAgCEwFiCEAQkACACagGxBAMIAABQRFABAA=}#}2024青岛三模数学试题数学参考答案及评分标准一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1-8:CDACBCBD二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.9.ACD10.BD11.ACD三、填空题:本题共3个小题,每小题5分,共15分.12.105;13.()√./;14..四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤15.(13分)解:(1)因为为的内角,所以()1分因为.2分所以()√可化为:√()3分即√√4分即./√5分因为./,解得:6分（2）由三角形面积公式得√,所以√9分由余弦定理得:11分解得:或舍去所以的周长为√13分5{#{QQABJQIEogCgAIIAAAgCEwFiCEAQkACACagGxBAMIAABQRFABAA=}#}16.(15分)解:(1)根据列联表中的数据,经计算得到:()3分根据小概率值的独立性检验,可以认为性别与身高有关联4分（2）由题可知的可能取值为,()()()()8分所以的分布列为:0123所以(),所以的数学期望为110分(3)由题,18名男生身高数据的平均数‾11分18名男生身高数据的方差,∑(‾)∑(‾)-[∑(‾‾‾)∑(‾‾‾)][∑(‾)(‾‾)∑(‾)(‾‾)],(‾‾)-,(‾‾)-所以,该中学男生身高数据的平均数约为174,方差约为5917.(15分)解:(1)取中点,连接,则为的中点,6{#{QQABJQIEogCgAIIAAAgCEwFiCEAQkACACagGxBAMIAABQRFABAA=}#}因为侧面是等腰梯形,所以,又,所以1分又,所以四边形为等腰梯形因为点为的中点,所以所以.2分因为是等边三角形,所以3分又,所以平面所以平面平面故平面(2)在梯形中,,√,由勾股定理得√,取中点,由(1)知,两两垂直,以为原点,分别以所在直线为轴,轴,轴建立如图所示空间直角坐标系,则()(√)()()()()(√)设平面的法向量为⃗()⃗⃗⃗⃗⃗()⃗⃗⃗⃗⃗⃗(√),⃗⃗⃗⃗⃗⃗则{,则令,得⃗(√)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗√设⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗()⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(√)设直线与平面所成角为,所以|⃗⃗⃗⃗⃗⃗||⃗⃗⃗⃗⃗⃗|||√√.|⃗⃗⃗⃗⃗||⃗|√√解得(负值舍去),所以点为棱的中点,所以的长为1.18.(17分)解:(1)由题意知./()(),显然点在直线的上方,因为直线为的等线,所以2分解得√,所以的方程为·4分（2）设(),切线(),代入得:()()()所以,()-()(),该式可以看作关于的一元二次方程(),所以,即方程为()()当斜率不存在时,也成立6分7{#{QQABJQIEogCgAIIAAAgCEwFiCEAQkACACagGxBAMIAABQRFABAA=}#}渐近线方程为√,不妨设在上方,联立得,故,√√√√所以是线段的中点.7分因为到过的直线距离相等,则过点的等线必满足:到该等线距离相等且分居两侧,所以该等线必过点,即的方程为√,√由{,解得:(√√).9分√所以√√,√√√所以√√,√√所以||,所以||||||11分（3）设(),由⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,所以,故曲线的方程为()12分由(*)知切线为为,即即13分易知与在的右侧,在的左侧,分别记到的距离为,由(2)知√√,√√√√√√√||||||√√√√所以√√√√||||由得15分√√√√因为,√√√所以直线为的等线.17分19.(17分)解:(1)因为(),所以(),又因为(),所以(),解得1分8{#{QQABJQIEogCgAIIAAAgCEwFiCEAQkACACagGxBAMIAABQRFABAA=}#}所以()在()处的切线方程为:(),所以()在()处的切线方程为:,||所以√,解得3分√√（2）(法一)由（1）知：()(),记直线的倾斜角分别为,斜率分别为,所以,设()且,所以()5分()令()(),则(),()当时,设函数(),则(),所以()在()单调递增,所以()(),即,所以(),所以()在()()均单调递减,且()6分当时,,所以()在()单调递增,所以()()8分当时,;当时,,所以,当点坐标为()时,最大为同理,函数()与()的图象关于直线对称,且也关于直线对称,所以最大为,所以与之和的最大值为10分(法二)由(1)知:()(),点在圆././上.5分下面证明:直线与圆和曲线()均相切,因为圆的圆心到直线的距离为√,所以直线与圆相切,√即,除点()外,圆上的点均在直线下方6分又因为()(),则(),所以()在()单调递减,在()单调递增,所以()(),即,除点()外,曲线()上的点均在直线上方.8分所以,当点坐标为()时,最大为同理,函数()与()的图象关于直线对称,且也关于直线对称,所以最大为,9{#{QQABJQIEogCgAIIAAAgCEwFiCEAQkACACagGxBAMIAABQRFABAA=}#}综上知:与之和的最大值为10分（3）因为曲线()与与曲线()与有唯一交点,且关于对称,并分居两侧,所以曲线()的上的点到曲线()上的点的最小距离√,且此时这两点只能为()(),假设函数()与函数()的图象关于直线对称,则点()关于的对称点在()上,点()关于的对称点在()上,因为||||√,所以与重合,与重合,所以,是函数()与函数()的图象的唯一对称轴,所以和分别关于直线对称,12分设()()()(),其中,||所以||√()√()√(),√即,14分又因为||√()√(),即15分所以为方程的根,即()()的零点为,因为()√,所以()在()单调递增,故./√√√(),所以16分令()(),则(),所以()在()单调递增,所以[√()]().√/17分10{#{QQABJQIEogCgAIIAAAgCEwFiCEAQkACACagGxBAMIAABQRFABAA=}#}