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2024届安徽省六安第一中学高三下学期质量检测(三)数学试卷
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六安一中2024高三年级质量检测数学试卷(三)时间:120分钟满分:150分一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,若,则()A.3 B.2 C.1 D.1或32.复数满足(为虚数单位),则的最小值是()A.3 B.4 C.5 D.63.的值为()A. B. C. D.4.300的不同正因数的个数为()A.16 B.20 C.18 D.245.若函数,点是曲线上任意一点,则点到直线的距离的最小值为()A. B. C. D.6.已知一个高为6的圆锥被平行于底面的平面截去一个高为3的圆锥,所得圆台的上、下底面圆周均在球的球面上,球的体积为,且球心在该圆台内,则该圆台的表面积为()A. B. C. D.7.已知平面向量,,满足,,,,则的最大值等于()A. B. C. D.8.“肝胆两相照,然诺安能忘.”(《承左虞燕京惠诗却寄却寄》,明·朱察卿)若,两点关于点成中心对称,则称为一对“然诺点”,同时把和视为同一对“然诺点”.已知,函数的图象上有两对“然诺点”,则等于()A.4 B.3 C.5 D.2二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知圆,点是圆上的一点,则下列说法正确的是()A.圆关于直线对称B.已知,,则的最小值为C.的最小值为D.的最大值为10.记函数的导函数为,已知,若数列,满足,则()A.为等差数列 B.为等比数列C. D.11.如图1,在等腰梯形中,,且,为的中点,沿将翻折,使得点到达的位置,构成三棱锥(如图2),则()A.在翻折过程中,与可能垂直B.在翻折过程中,二面角无最大值C.当三棱锥体积最大时,与所成角小于D.点在平面内,且直线与直线所成角为,若点的轨迹是椭圆,则三棱锥的体积的取值范围是三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.若偶函数对任意都有,且当时,,则______.13.一质子从原点处出发,每次等可能地向左、向右、向上或向下移动一个单位长度,则移动6次后质子回到原点处的概率是______.14.设,是双曲线的左、右焦点,点是双曲线右支上一点,若的内切圆的半径为(为圆心),且,使得,则双曲线的离心率为______.四、解答题:本题共2小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)为迎接2024新春佳节,某地4S店特推出盲盒抽奖营销活动中,店家将从一批汽车模型中随机抽取50个装入盲盒用于抽奖,已知抽出的50个汽车模型的外观和内饰的颜色分布如下表所示.红色外观蓝色外观棕色内饰2010米色内饰155(1)从这50个模型中随机取1个,用表示事件“取出的模型外观为红色”,用表示事件“取出的模型内饰为米色”,求和,并判断事件与是否相互独立;(2)活动规定:在一次抽奖中,每人可以一次性拿2个盲盒.对其中的模型给出以下假设:假设1:拿到的2个模型会出现3种结果,即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色以及仅外观或仅内饰同色.假设2:按结果的可能性大小,概率越小奖项越高.假设3:该抽奖活动的奖金额为一等奖3000元、二等奖2000元、三等奖1000元.请你分析奖项对应的结果,设为奖金额,写出的分布列并求出的期望(精确到元)16.(本小题满分15分)在①,②,③这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并解答.在中,内角,,所对的边分别为,,,且______.(1)求角的大小;(2)已知,是边的中点,且,求的长.注:若选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.17.(本小题满分15分)如图所示,在三棱锥中,是边长为的等边三角形,,,,分别为,的中点.(1)求证:;(2)若二面角的余弦值为,求:①的长;②直线与平面所成角的正弦值.18.(本小题满分17分)平面直角坐标系中,动点在圆上,动点(异于原点)在轴上,且,记的中点的轨迹为.(1)求的方程;(2)过点的动直线与交于,两点.问:是否存在定点,使得为定值,其中,分别为直线,的斜率.若存在,求出的坐标,若不存在,说明理由.19.(本小题满分17分)已知函数.(1)若过点可作曲线两条切线,求的取值范围;(2)若有两个不同极值点,.①求的取值范围;②当时,证明:. 六安一中2024届高三年级质量检测卷数学试卷(三)参考答案1234567891011CBACDBAAABDACDAC12.13.14.15.(1)模型内饰为米色的共有20个,所以,红色外观的模型有35个,其中内饰为米色的共有15个,所以,红色外观模型且内饰为米色的共有15个,所以,,因为,所以,不独立.(2)设事件“取出的模型外观和内饰均为同色”,事件“取出的模型外观和内饰都异色”,事件“仅外观或仅内饰同色”,,,,因为,所以获得一等奖的概率为,二等奖的概率为,三等奖的概率为.其分布列为300020001000期望为.16.(1)方案一:选条件①.由及正弦定理,得,即,由余弦定理,得.又,所以.方案二:选条件②.由及正弦定理,得,所以,因为,所以,又,所以,又,所以.方案三:选条件③.由及正弦定理,得,因为,所以,所以.在中,,可得,故,因为,所以,故,因此,得.(2)解法一:因为是边的中点,所以,由(1)知,因为,所以,故,故.由余弦定理得,故,因为,所以,.在中,,,所以,即的长为.解法二:由(1)知,因为,所以,因为,是边的中点,所以设,则,在中,①在中,由正弦定理,,即②①②两式相除可得:,即,得所以,解法三:以为坐标原点,所在直线为轴,所在直线为轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则,,设,因为是边的中点,所以.因为,所以直线的斜率为,则,所以.又,所以,所以,故的长为.17.(1)连接,,因为,分别为,的中点,是等边三角形,所以,又,,所以,,在和中,,,所以,又为的中点,所以,又,,平面,平面,又平面,所以.(2)①由(1)可知为二面角的平面角,设,则,,,又,,,.在和中,,为的中点.,②,,.,又,,面,所以平面,如图,以为原点建立空间直角坐标系,则,,,,,为的中点,,易知平面的一个法向量,又,设与平面所成角为,则,故与平面所成角的正弦值为.18.(1)设点,,因为,则,,由为中点得,则,代入,得.所以动点的轨迹的方程为.(2)存在满足题意,证明如下:依题意直线的斜率存在且不为0,设的方程:,,,,联立方程,消去得,则,,直线方程化为.联立方程.消去得,则,,可得,依题意直线,与坐标轴不平行,且为定值,可得,由,整理得,由,整理得,解得或,代入,解得或或,所以或或满足题意19.(1)依题意,,设过点的直线与曲线相切时的切点为,斜率,切线方程为,而点在切线上,则,即有,由过点可作曲线两条切线,得方程有两个不相等的实数根,令,则函数有2个零点,求导得,①若,由,得或,由,得,即函数在,上单调递增,在上单调递减,则当时,取得极大值;当时,取得极小值,又,当时,恒成立,因此函数最多1个零点,不合题意;②若,恒成立,函数在上单调递增,因此函数最多1个零点,不合题意;③若,由,得或,由,得,即函数在,上单调递增,在上单调递减,则当时,取得极大值;当时,取得极小值,又,显然当时,恒成立,因此函数最多1个零点,不合题意;④若,显然,当时,,当时,,函数在上单调递增,在上单调递减,当时,取得最大值,要函数有2个零点,必有,得,当时,,而函数在上的值域为,因此在上的值域为,当时,令,求导得,函数在上单调递减,则,,而函数在上单调递减,值域为,因此函数在上的值域为,于是当时,函数有两个零点,所以过点可作曲线两条切线时,的取值范围是.(2)①由(1)知,,由函数有两个极值点,,得,即有两个实数根,,令,求导得,当时,,当时,,函数在上单调递增,上单调递减,,且,当时,函数恒成立,因此当时,有两个实数根所以函数有两个极点时,的取值范围是.②由,即,得,要证明,只需证明,而,令,则,欲证明,即证明,只需证明即可,令,求导得,则在时单调递增,故,则,令在时单调递增,则,因此,即,所以.

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