湖南师大附中2024届模拟试卷（三）数学命题人、审题人：数学备课组注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合Ax={1<0）的焦点为F，点M在抛物线C上，点N(0,3)，若MF=10，且NM⊥NF，则抛物线C的方程可以为（）2222A.yx=3B.yx=4C.yx=36D.yx=1811.在三棱锥P−ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AB=3，平面ABC内动点D的轨迹是集合已知，，且，在棱所在直线上，则（）M={DDA=2DB}.CD1DM2∈D1D2ABA.动点D的轨迹是圆B.平面PCD1⊥平面PCD2C.三棱锥P−DDC12外接球的半径不是定值D.三棱锥P−ABC体积的最大值为3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数z满足12≤≤z，在复平面内z对应的点为Z，则点Z的集合构成图形的面积为______.213.在△ABC，已知2AB⋅=AC33ABAC=BC，∠BC<∠.则sin∠=C______.14.二战期间盟军的统计学家主要是将缴获的德军坦克序列号作为样本，用样本估计总体的方法得出德军某月生产的坦克总数.假设德军某月生产的坦克总数是N，缴获的该月生产的n辆坦克编号从小到大为x1，x2，…，xn，即最大编号为xn，且缴获的坦克是从所生产的坦克中随机获取的，因为生产坦克是连续编号的，所以缴获坦克的编号x1，x2，…，xn，相当于从[0,N]中随机抽取的n个整数，这n个数将区间[0,N]分成(n+1)个小区间，由于N是未知的，除了最右边的区间外，其他n个区间都是已知的.由于这n{#{QQABDQCEogAAApAAAAhCQwEwCkAQkBGAASgOBAAIIAIBARNABAA=}#}{#{QQABCQAt5giwgoTACA5qQ0FkCkgQkJMgLegMxRCCqA4DAJNABIA=}#}学科网（北京）股份有限公司xN个数是随机抽取的，所以可以用前n个区间的平均长度n估计所有(n+1)个区间的平均长度，进而nn+1得到N的估计值.例如，缴获坦克的编号是3，5，12，18，20，则统计学家利用上述方法估计德军每月生产的坦克数为______.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分13分）如图，在数轴上一个质点在外力的作用下，从原点出发，每隔1s向左或向右移动一个单位，向右移动的概2率为，共移动4s，设随机变量X为移动4s后质点的坐标.3（1）求移动4s后质点的坐标为正数的概率；（2）求随机变量X的分布列及数学期望.16.（本题满分15分）1已知函数f(x)=++xln(ax)xex（a<0）.a（1）求函数fx()的极值；（2）若集合{xf(x)≥−1}有且只有一个元素，求a的值.17.（本题满分15分）如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=2，底面ABCD为直角梯形，∠=BAD90°，AB=2，CD=AD=1，N是PB的中点，点M，Q分别在线段PD与AP上，且DM=λMP，AQ=µQP.（1）若平面MNQ//平面ABCD，求λ、µ的值；µ2（2）若MQ//平面PBC，求的最小值.λ18.（本题满分17分）{#{QQABDQCEogAAApAAAAhCQwEwCkAQkBGAASgOBAAIIAIBARNABAA=}#}{#{QQABCQAt5giwgoTACA5qQ0FkCkgQkJMgLegMxRCCqA4DAJNABIA=}#}学科网（北京）股份有限公司yx22xy22已知为坐标原点，双曲线：−=（>，>）和椭圆：+=OC1221a10b10C2221ab11ab2223（>>）均过点且以的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形是面积为的正ab220T1,C1C223方形.（1）求C1，C2的方程；（2）是否存在直线l，使得l与C1交于A，B两点，与C2只有一个公共点，且OA+=OBAB？证明你的结论；（3）椭圆C2的右顶点为Q，过椭圆C2右焦点的直线l1与C2交于M、N两点，M关于x轴的对称点为S1S（与N点不重合），直线SN与x轴交于点P，△MOQ，△MPQ的面积分别为S1，S2，问是S2否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.19.（本题满分17分）1对于数列{xn}，{yn}，其中yn∈Z，若对任意正整数n都有xy−<，则称数列{yn}为数列{xn}的nn2nn“接近数列”已知数列为数列的“接近数列”，设，.{bn}{an}Aani=∑Bbni=∑.i=1i=11（1）若an=+（n是正整数），求b1，b2，b3，b4的值；n4n+1（）若39（是正整数），是否存在（是正整数），使得<？如果存在，请求出2an=+−nkkABkkk210的最小值；如果不存在，请说明理由；（3）若{an}为无穷等差数列，公差为d，求证：数列{bn}为等差数列的充要条件是d∈Z.（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477，lg7≈0.845）{#{QQABDQCEogAAApAAAAhCQwEwCkAQkBGAASgOBAAIIAIBARNABAA=}#}{#{QQABCQAt5giwgoTACA5qQ0FkCkgQkJMgLegMxRCCqA4DAJNABIA=}#}学科网（北京）股份有限公司湖南师大附中2024届模拟试卷（三）数学参考答案题号1234567891011答案BCACBBCABDBCABD一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.B【解析】集合Ax={1<100克.故选：C.8.A【解析】依题意得，设直线l的方程为y=xb+，1b2由直线和圆xy22+=相切可得，=，解得b=±1，22112+−()2当b=1时，yx=+1和y=ln(xa+)相切，1设切点为(mn,)，根据导数的几何意义，=1，ma+n=0,nm=+1,又切点同时在直线和曲线上，即解得m=−1,n=ln(ma+),a=2,即yx=+1和yx=ln(+2)相切，此时将直线和曲线同时向右平移两个单位，yx=−1和yx=ln仍会保持相切状态，即b=−1时，a=0，综上所述，a=2或a=0.故选：A.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.BD【解析】展开式共有7项，故A错误；展开式的各二项式系数的和为26=64，故B正确；展开式的第项是5155，其系数为，故错误；6C65(−=−xx)30−30C展开式共7项，所以第4项的二项式系数最大，故D正确.故选：BD.p10.BC【解析】设Mxy(11,)，因为MF=10，所以x+=10，12因为NM⊥NF，所以NM⋅