成都石室中学2023-2024学年高2024届高考适应性考试（二）数学（理科）答案1.D2．已知复数，，为虚数单位），其在复平面内对应向量的模为2，则的最大值为 A．2 B．3 C． D．【解答】解：且，，即，故点在以为圆心，2为半径的圆上，又，它表示点与原点的距离，则的最大值为3．故选：．3.解：由表中折线图可知，甲组数据总体比乙组数据高，且甲组数据比乙组数据的振动幅度要小，故，．故选：．4.解：不妨以正方体为例，与在平面上的射影互相平行，①正确；与在平面上的射影互相垂直，②正确；如果、在上的射影是同一条直线，那么、共面，③不正确；与在平面上的射影是一条直线及其外一点，④正确．正确结论的序号是①②④．故选：．5.解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是：求出，，，中最大的数和最小的数其中为，，，中最大的数，为，，，中最小的数故选：．6.解：根据题意，首先从5人中抽出两人在星期五参加活动，有种情况，再从剩下的3人中，抽取两人安排在星期六、星期日参加活动，有种情况，则由分步计数原理，可得不同的选派方法共有种，故选：．7.解：通过分析可知当时，点到轴距离为，于是可以排除答案，；再根据当时，可知点在轴上，此时点到轴距离为0，排除答案；故选：．8.【解答】解：把，，代入，得到，如图：坐标为，该圆半径为，该圆的面积为，则落在该圆的概率为，故选．9．【解答】解：如图所示，由图可知在四面体中，由正方形，为的中点，可得，，，故平面，将图形旋转得到如图所示的三棱锥，其中为等边三角形，过的中心作平面的垂线，过线段的中点作平面的垂线，由球内截面的性质可得直线与相交，记，则即为三棱锥外接球的球心，设外接球的半径为，连接，，可得，在△中，，故该外接球的表面积．故选：．10．解：，则，故选：．11.解：如图，设，，，，，，则，，两式作差，可得，，则，当为的中点时，直线的斜率为，，即，则，设为椭圆的左顶点，连接，则，得，解得或（舍去）．可得，则，，椭圆的离心率．故选：．12.解：令，，则有，又，故，即，令，，则有，即，由，可得，又，故，故正确；令，则有，即，故函数是奇函数，有，即，即函数是减函数，令，有，故正确、错误、正确．故选：．13．已知向量满足，且是单位向量，若，则．【答案】所以，，又因为，所以，即，解得，所以.14．关于双曲线，四位同学给出了四个说法：小明：双曲线的实轴长为8；小红：双曲线的焦点到渐近线的距离为3；小强：双曲线的离心率为；小同：双曲线C上的点到焦点距离的最小值为1；若这4位同学中只有1位同学的说法错误，则说法错误的是．（横线上填“小明”、“小红”、“小强”或“小同”）【答案】小强【详解】假设小明说法正确，则，即，又小红说法正确，则双曲线的焦点到渐近线的距离为，则此时双曲线为，则，双曲线的离心率为，双曲线C上的点到焦点距离的最小值为，综上，小明、小红、小同的说法正确的，小强的说法错误.故答案为：小强.15．已知函数的图象与函数且的图象在公共点处有相同的切线，则切线方程为.【答案】【分析】设公共点为，即可得到，再由导数的几何意义得到，从而求出，即可求出切点坐标，从而求出，再求出切线方程.【详解】设公共点为，则，即，所以，所以，由，，所以，，又在公共点处有相同的切线，所以，即，所以，则，，故答案为：16．定义在封闭的平面区域D内任意两点的距离的最大值称为平面区域D的“直径”．如图，已知锐角三角形的三个顶点A，B，C在半径为1的圆上，角的对边分别为a，b，c，．分别以各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和构成平面区域D，则平面区域D的“直径”的取值范围是___________．【答案】.【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合和角的正弦公式求出.（2）利用向量线性运算，结合向量的三角不等式求出区域D的“直径”关系式，再利用三角恒等变换结合正弦函数性质求出范围即得.【详解】如图，F，G是AC，BC的中点，E，F，G，H四点共线，设P，Q分别为、上任意一点，，，即PQ的长小于等于周长的一半，当PQ与HE重合时取等，同理，三个半圆上任意两点的距离最大值等于周长的一半，因此区域D的“直径”为的周长l的一半，由正弦定理得：，，，则，由为锐角三角形，得，即，则，，于是，所以平面区域D的“直径”的取值范围是.17.解：（1），当时，，两式相减，得，即，又………………………………4分，满足上式，………………………………5分即数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以；………………………………6分证明：（2），………………………………8分………………………………11分．………………………………12分18.【解答】解：（1），为的中点，，，，平面，平面，，，，平面；……………………5分（2）以为原点，以方向为轴正方向，以射线的方向为轴正方向，建立空间坐标系，则，0，，，，，，2，，，2，，，0，设，，则，，，，，，，，，，0，设平面的法向量，，则令，则，1，平面的法向量，，，，5，，，，令，则，4，……………………9分由二面角的大小为，得，方程无解，不存在点使得二面角的大小为．……………………12分19.某机构为了解2023年当地居民网购消费情况，随机抽取了100人，对其2023年全年网购消费金额（单位：千元）进行了统计，所统计的金额均在区间，内，并按，，，，，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．（1）求图中的值；（2）若将全年网购消费金额在20千元及以上者称为网购迷，结合图表数据，补全列联表，并判断是否有的把握认为样本数据中网购迷与性别有关系？说明理由．男女合计网购迷20非网购迷47合计（3）若甲、乙两位网购迷网购时支付方式采用软件支付分概率分别为，采用其它支付方式的概率分别为，且甲、乙两人网购时采用支付方式相互独立．在甲、乙各自独立完成的2次网购中，记甲、乙两人支付方式采用支付的次数分别为，，令，求的分布列和数学期望下面的临界值表仅供参考：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：，其中【解答】解：（1）根据频率分布直方图得：，解得．……………………2分（2）根据频率分布直方图得样本中网购迷的人数为，列联表如下：公众号：高中试卷君男女合计网购迷152035非网购迷471865合计6238100解得．……………………6分有的把握认为样本数据中的网购迷与性质有关系．（3）根据题意，的可能取值为0，1，2，，，．……………………9分的分布列为：012．……………………12分20．已知函数．(1)当时，求的单调区间；(2)当时，，求的取值范围．【详解】（1）当时，，则，……………………1分设，则恒成立，又，…………………2分所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以的减区间为，增区间为；…………………4分（2），设，则，所以在上单调递增，…………………5分又，，所以存在，使得，即，…………………6分当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，取得极小值，也是最小值，…………………7分所以，…………………9分所以，即，设，易知单调递增，且，所以，解得，综上，.…………………12分21．已知直线过定点，动圆过点，且在轴上截得的弦长为4，设动圆圆心轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)点，，为上的两个动点，若，，恰好为平行四边形的其中三个顶点，且该平行四边形对角线的交点在上，记平行四边形的面积为，求证：.【详解】（1）设圆心坐标为过定点，依题意，，…………………2分化简得，所以曲线的方程为.…………………4分（2）显然点不在曲线上，设，直线PQ的斜率为，线段PQ的中点为，由平行四边形PAQB对角线的交点在上，得线段PQ的中点在直线上，设，显然，两式相减得，又，即，设直线PQ的方程为，即，…………………6分由消去x并整理得，，则，解得，…………………7分则，又点到直线PQ的距离为，…………………8分所以，，…………………9分记，由，得，则，令，求导得，令，得，当时，在区间内单调递增，所以当，即时，取得最大值，即，所以.…………………12分公众号：高中试卷君22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（t为参数）．(1)写出及的普通方程；(2)以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求与交点的极坐标．【详解】（1）由消去得，即的普通方程为.…………………2分由消去得，即的普通方程为.…………………5分（2）联立方程消元得，…………………6分解得或或，…………………7分转化为极坐标得或或.…………………10分即与交点的极坐标为或或.23．已知函数．(1)求的最小值；(2)若的最小值为，正实数a，b，c满足，求证:【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）借助零点分段法分类讨论即可得；（2）借助柯西不等式计算即可得.【详解】（1）当时，，当时，，当时，，故的最小值为；…………………5分（2）由（1）可知，，即，即，则有，即，即，当且仅当时，等号成立.…………………10分