专题23极化恒等式【方法点拨】极化恒等式：.说明：（1）极化恒等式的几何意义是：设点是△ABC边的中点，则，即：向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差．（2）具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合.（3）遇到共起点的两向量的数量积问题，常取第三边的中点，从而运用极化恒等式加以解决.特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题．【典型例题】例1如图，在中，是的中点，是上两个三等分点，，，则的值是．【解析】设，由极化恒等式得，解之得可得，，因此，，因此．点评：紧紧把握极化恒等式使用条件，三次使用极化恒等式求解.例2已知是边长为2的等边三角形，是平面内一点，则的最小值为 ．【答案】【分析】本题的难点在于如何将“二合一”？注意到两向量共起点且其系数和为3，可利用三点共线的方法将其“二合一”，然后使用极化恒等式.【解析】设，则，在上所以如图，取中点为，由极化恒等式得在，由余弦定理得所以当，即为中点时，所以的最小值，此时为中点.例3如图所示，矩形ABCD的边AB=4，AD=2，以点C为圆心，CB为半径的圆与CD交于点E，若点P是圆弧(含端点B、E)上的一点，则eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的取值范围是.【答案】【分析】取AB的中点设为O，则，然后利用平几知识确定PO的取值范围，代入即可.【解析】取AB的中点设为O，则，当O、P、C共线时，PO取得最小值为；当P与B（或E）重合时，PO取得最大值为PO=2，所以的取值范围是.例4半径为2的圆O上有三点A，B，C，满足，点是圆内一点，则的取值范围是（）A. B.C.D.【答案】A【分析】直接两次使用极化恒等式即可.【解析】由得在平行四边形中，，故易知四边形是菱形，且设四边形对角线的交点为E由极化恒等式得所以因为是圆内一点，所以所以，即，选A.例5在△ABC中，AC＝2BC＝4，∠ACB为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且MN＝1，若的最小值为，则cos∠ACB＝．【答案】【分析】取MN的中点P，由极化恒等式将“的最小值为”转化为AB边上的高CH=1，然后利用两角差的的余弦公式求解.【解析】取MN的中点P，则由极化恒等式得∵的最小值为∴由平几知识知：当CP⊥AB时，CP最小.如图，作CH⊥AB，H为垂足，则CH=1又AC＝2BC＝4，所以∠B＝30o，sinA=所以cos∠ACB＝cos（150o－A）=.H例6已知直角三角形ABC中，，AB=2，AC=4，点P在以A为圆心且与边BC相切的圆上，则的最大值为（）A．B．C． D．【答案】D【解析】设中点为，则，又因为，所以，故选：D.例7正方体棱长为2，是棱的中点，是四边形内一点（包含边界），且，当三棱锥的体积最大时，与平面所成角的正弦值为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由条件及极化恒等式入手，设的中点为，则，所以，故点的轨迹是以为球心，为半径的球被面所截得的半圆，当点在半圆弧的最高点时，三棱锥的体积最大，此时易求得与平面所成角的正弦值为.【解析】设的中点为，则由极化恒等式得，所以，故点的轨迹是以为球心，为半径的球被面所截得的半圆，当点在半圆弧的最高点时，三棱锥的体积最大，此时易求得与平面所成角的正弦值为.【巩固练习】如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5.若eq\o(AB,\s\up7(―→))·eq\o(AD,\s\up7(―→))＝－7，则eq\o(BC,\s\up7(―→))·eq\o(DC,\s\up7(―→))＝________.2．矩形中，为矩形所在平面内一点，,矩形对角线，则值为.3.若平面向量a，b满足|2a－b|≤3，则a·b的最小值为________.4.已知平面向量a，b，e满足|e|＝1，a·e＝1，b·e＝－2，|a＋b|＝2，那么a·b的最大值为________．5.在中，已知，，则面积的最大值是．6.已知单位向量，，满足，则的值为（）A． B． C． D．17.已知，且向量与的夹角为120°，又，则的取值范围为（）A． B． C． D．8.已知平面向量满足，，，，那么的最小值为________．9.已知锐角的外接圆的半径为1，，则的取值范围为__________．10.在中，，若是所在平面内的一点，且，则的最大值为_____.11.已知点是边长为的正三角形内切圆上的一点，则的取值范围为_____.12.已知正方形ABCD的边长为1，中心为O，直线l经过中心O，交AB于点M，交CD于点N，P为平面上一点，若2eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(OC,\s\up6(→))，则eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))的最小值为__________.13.设点P为正三角形△ABC的边BC上的一个动点，当eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))取得最小值时，sin∠PAC的值为________．14.在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴，y轴正半轴上移动，AB＝2，若点P满足eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝2，则OP的取值范围为________．15.在△ABC中，E，F分别是线段AB，AC的中点，点P在直线EF上，若△ABC的面积为2，则eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))2的最小值是__________．16.在半径为1的扇形AOB中，若∠AOB＝60°，C为弧AB上的动点，AB与OC交于点P，则eq\o(OP,\s\up14(→))·eq\o(BP,\s\up14(→))的最小值是________．17.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))的取值范围是________．18.已知球的半径为1，是球面上的两点，且，若点是球面上任意一点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案或提示】1.【答案】9【提示】两次使用极化恒等式，由得，.2.【答案】【提示】设矩形的对角线交点为O，由，得，.3.【答案】【解析】根据极化恒等式得：，故，所以的最小值为．4.【答案】－54【提示】由a·e＝1，b·e＝－2得:a·e－b·e＝3，即（a－b）·e＝3，|a－b|cos＝3a·b=14[|a＋b|2－|a－b|2]≤－545.【答案】【提示】取BC的中点为D，则，所以因为BC边上的高线长不大于中线长，当中线就是高线时，面积最大，故面积的最大值．6.【答案】A【解析】∵，∴，如图，设中点为，则，且，∴三点共线，，，，∴为等腰三角形，∴，∴.故选：A.7.【答案】C【解析】连结，则设的中点为，由，易知，所以故，故选：C8.【答案】【解析】由，得，即又（其中为向量与的夹角）所以所以.9.【答案】10.【答案】【提示】方法同上.11.【答案】12.【答案】13.【答案】14.【答案】15.【答案】16.【解析】如图，取OB的中点D，连接PD，则eq\o(OP,\s\up14(→))·eq\o(BP,\s\up14(→))＝PD2－OD2＝PD2－eq\f(1,4)，即求PD的最小值．由图可知，当PD⊥OB时，PDmin＝eq\f(\r(3),4)，则eq\o(OP,\s\up14(→))·eq\o(BP,\s\up14(→))的最小值是－eq\f(1,16).17.【答案】[0,2]【解析】 由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为2eq\r(3).当弦MN的长度最大时，MN为球的直径．设内切球的球心为O，则eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\o(PO,\s\up6(→))2－eq\o(ON,\s\up6(→))2＝eq\o(PO,\s\up6(→))2－1.由于P为正方体表面上的动点，故OP∈[1，eq\r(3)]，所以eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))∈[0,2]．18.【答案】B【解析】设的中点为，则由极化恒等式得因为，点是球面上任意一点所以所以,故选B.