轻松搞定圆锥曲线离心率十九大模型【考点预测】求离心率范围的方法一、建立不等式法：1、利用曲线的范围建立不等关系．x2y22、利用线段长度的大小建立不等关系．F,F为椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点，P为椭圆上的12a2b2x2y2任意一点，PF∈a-c,a+c；F,F为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点，P为双曲线上的112a2b2任一点，PF1≥c-a．x2y23、利用角度长度的大小建立不等关系．F,F为椭圆+=1的左、右焦点，P为椭圆上的动点，若12a2b2θ∠FPF=θ，则椭圆离心率e的取值范围为sin≤e<1．1224、利用题目不等关系建立不等关系．5、利用判别式建立不等关系．6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．7、利用基本不等式，建立不等关系．二、函数法：1、根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；2、通过确定函数的定义域；3、利用函数求值域的方法求解离心率的范围．三、坐标法：由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系．【题型归纳目录】题型一：建立关于a和c的一次或二次方程与不等式题型二：圆锥曲线第一定义题型三：圆锥曲线第二定义题型四：圆锥曲线第三定义(斜率之积)题型五：利用数形结合求解题型六：利用正弦定理题型七：利用余弦定理题型八：内切圆问题题型九：椭圆与双曲线共焦点题型十：利用最大顶角θ题型十一：基本不等式题型十二：已知PF1⋅PF2范围题型十三：PF1=λPF2题型十四：中点弦题型十五：已知焦点三角形两底角题型十六：利用渐近线的斜率题型十七：坐标法题型十八：利用焦半径的取值范围题型十九：四心问题【典例例题】题型一：建立关于a和c的一次或二次方程与不等式x2y2例1.(2022·全国·高三专题练习)如图所示，已知双曲线C:-=1a>0,b>0的右焦点为F，双曲线Ca2b2的右支上一点A，它关于原点O的对称点为B，满足∠AFB=120°，且BF=2AF，则双曲线C的离心率是________．【答案】3【解析】设双曲线的左焦点为F，连接AF，BF，由条件可得BF-AF=AF-AF=2AF-AF=2a，则AF=2a，BF=4a，∠FAF=60°，所以FF2=AF2+AF2-2AF⋅AF⋅cos∠FAF，1即4c2=16a2+4a2-16a2×，2即4c2=12a2，c=3ac所以双曲线的离心率为：e==3，a故答案为3.x2y2例2.(2022·四川·高三阶段练习(理))已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F，F，过a2b212右焦点F2且不与x轴垂直的直线交C的右支于A，B两点，若AF1⊥AB，且AB=2AF1，则C的离心率为(    )A.2B.1+2C.3D.1+3【答案】C【解析】如图，设AF1=m，则AF2=m-2a．又AB=2AF1，所以BF2=m+2a，所以BF1=m+4a．又AF1⊥AB，所以BF1=5m，由m+4a=5m，得2m=5+1a=AF1，则AF2=m-2a=5-1a，而F1F2=2c，则4c=22c5+1a2+5-1a2，化简得c2=3a2，所以e==3．ax2y2例3.(2022·湖北·高三开学考试)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,F，过F作直a2b2121线l与C的左、右两支分别交于M,N两点，且△MNF2是以∠MNF2为顶角的等腰直角三角形，若C的离心率为e，则e2=(    )A.5+33B.5+32C.5+22D.5+23【答案】C【解析】设|MN|=|NF2|=m,|MF2|=2m，由双曲线的定义得|MF1|=2m-2a，又|NF1|-|NF2|=2a,∴m+2m-2a-m=2a，∴m=22a.222又|NF1|+|NF2|=|F1F2|,所以(22a+2a)2+(22a)2=4c2，c2所以=5+22,∴e2=5+22.a2故选：Cy2例4.(2022·甘肃·瓜州一中高三期中(文))若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+=1的离心率是(    )m3335A.或5B.5C.D.或2222【答案】A【解析】∵m是2和8的等比中项，∴m=4或m=-4，y2当m=4时，方程为x2+=1，表示椭圆，43∴a=2,b=1,c=a2-b2=3，∴离心率为，2y2当m=-4时，方程为x2-=1，表示双曲线，4∴a=1,b=2,c=a2+b2=5，∴离心率为5，故选：Ax2y2例5.(2022·江西·高三开学考试(文))设椭圆C:+=1a>b>0的左、右焦点分别为F，F，点M，N在a2b212C上(M位于第一象限)，且点M，N关于原点O对称，若MN=F1F2，22MF2=NF2，则C的离心率为(    )2162-332-3A.B.C.D.4277【答案】C【解析】依题意作下图，由于MN=F1F2，并且线段MN，F1F2互相平分，π∴四边形MFNF是矩形，其中∠FMF=，NF=MF，1212212设MF2=x，则MF1=2a-x，222222根据勾股定理，MF1+MF2=F1F2，2a-x+x=4c，整理得x2-2ax+2b2=0，由于点M在第一象限，x=a-a2-2b2，22由22MF2=NF2，得MN=3MF2，即3a-a-2b=2c，62-3整理得7c2+6ac-9a2=0，即7e2+6e-9=0，解得e=.7故选：C．题型二：圆锥曲线第一定义x2y2例6.(2022·重庆八中高三开学考试(理))设椭圆E:+=1(a>b>0)的一个焦点为F(c,0)(c>0),点Aa2b2(-c,c)为椭圆E内一点,若椭圆E上存在一点P,使得|PA|+|PF|=9c,则椭圆E的离心率取值范围为()1111211A.,1B.,C.,D.,2322354【答案】D【解析】如图：设椭圆的另一个焦点为F1(-c,0)，因为|PF1|≤|PA|+|AF1|，所以2a=|PF1|+|PF|≤|PA|+|AF1|+|PF|=c+9c=10c由|PF1|≥|PA|-|AF1|，所以2a=|PF1|+|PF|≥|PA|-|AF1|+|PF|=9c-c=8c，所以8c≤2a≤10c，即4c≤a≤5c，11所以≤e≤.54b2因为点A在椭圆内，所以c<，所以ac，2411所以≤e≤.54故选：Dx2y2例7.(2022·浙江·高三开学考试)已知F,F分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左､右焦点，过F的直线与12a2b21C交于P,Q两点，若PF1=2PF2=5F1Q，则C的离心率是(    )3355A.B.C.D.5443【答案】D【解析】由已知，可根据条件做出下图：因为PF1=2PF2=5F1Q，令F1Q=t，5515所以PF=5t，PF=t，由椭圆的定义可知PF+PF=2a=5t+t=t，122122244244424所以t=a，所以PF=a，PF=a，FQ=a，PQ=PF+FQ=a+a=a，151323115113151526由椭圆的定义可知QF+QF=2a⇒QF=a，12215π在△PQF中，QF2=QP2+PF2，所以∠QPF=,22222222在△PF1F2中，F1F2=2c，所以F1F2=F1P+PF2164c25c5所以a2+a2=4c2⇒=⇒e==.99a29a35所以C的离心率是.3故选：D.y2例8.(2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习)设双曲线C:x2-=1的左､右焦点分别为F，F，b212P是C上一点，且F1P⊥F2P，若△PF1F2的面积为4，则双曲线C的离心率为(    )A.2B.2C.3D.5【答案】Dy2【解析】由题意，双曲线C:x2-=1，可知a=1，b2设PF2=m,PF1=n，可得m-n=2，1又因为FP⊥FP，若△PFF的面积为4，所以mn=4，且m2+n2=4c2，12122c联立方程组，可得c2=5，所以双曲线的离心率为e==5.a故选：D.x2y2例9.(2022·贵州贵阳·高三开学考试(理))已知双曲线C:-=1(a>0)的左焦点为F(-c,0)，点P在双a25曲线C的右支上，A(0,4)．若|PA|+|PF|的最小值是9，则双曲线C的离心率是_____．3【答案】2【解析】设双曲线的右焦点为F，x2y2双曲线-=1的b=5，a25则c=a2+5，可得F(-c,0)，F(c,0)，由双曲线的定义可得|PF|-|PF|=2a，可得|PF|=2a+|PF|，则|PA|+|PF|=|PA|+|PF|+2a≥2a+|AF|，当A，P，F共线时，取得等号．2a+|AF|=2a+(0-c)2+(4-0)2=9，则2a+a2+21=9整理得：a2-12a+20=0解得a=2或a=10，由于2a+a2+21=9，则0<2a<9，故a=10不符合所以a=2，c=3c3则双曲线的离心率为e==．a23故答案为：．2x2y2例10.(2022·全国·高三专题练习)已知F，F分别是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点，以FF12a2b2122为直径的圆与双曲线C有一个交点P，设△PF1F2的面积为S，若PF1+PF2=12S，则双曲线C的离心率为(    )6A.2B.C.2D.222【答案】C2222【解析】依题意，PF1⊥PF2，令F1(-c,0)，F2(c,0)，则有|PF1|+|PF2|=|F1F2|=4c，2222由(|PF1|+|PF2|)=12S得：|PF1|+|PF2|+2|PF1||PF2|=6|PF1||PF2|，即有|PF1||PF2|=c，c而4a2=(|PF|-|PF|)2=|PF|2+|PF|2-2|PF||PF|=2c2，所以e==2.121212a故选：C题型三：圆锥曲线第二定义例11.(2022·全国·高三专题练习(文))古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，他指出，平面内到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线；当01时，轨迹为双曲线.则方程(x-4)2+y21=表示的圆锥曲线的离心率e等于(    )25-4x5145A.B.C.D.5554【答案】B(x-4)2+y2(x-4)2+y21【解析】因为==，25-4x4x-2554(x-4)2+y24所以=，x-2554254表示点x,y到定点4,0的距离与到定直线x=的距离比为，454所以e=.5故选：Bx2y2例12.(2022·北京石景山·高三专题练习)已知双曲线-=1(a,b>0)的左、右焦点分别为FF，P为左支a2b212上一点，P到左准线的距离为d，若d、|PF1|、|PF2|成等比数列，则其离心率的取值范围是(    )A.[2，+∞)B.(1，2]C.[1+2，+∞)D.(1，1+2]【答案】D2【解析】∵|PF1|=d⋅|PF2|，|PF1||PF2|∴==e，即|PF2|=e|PF1|⋯①，d|PF1|又|PF2|-|PF1|=2a⋯②．2a2ae由①②解得：|PF|=，|PF|=，1e-12e-1又在焦点三角形F1PF2中：|PF1|+|PF2|≥|F1F2|，2a(e+1)即：≥2c，即e2-2e-1≤0，e-1解得：1-2≤e≤1+2，又e>1，∴10,b>0的右焦点为F，过F且斜率为3