双曲线必会十大基本题型讲与练01求双曲线的标准方程典例分析类型一、待定系数法1．（多选题）过点且的双曲线的标准方程是（       ）A． B．C． D．2．已知中心在原点的双曲线的离心率为2，右顶点为，过的左焦点作轴的垂线，且与交于，两点，若的面积为9，则的标准方程为___________.3．如图，已知椭圆C1和双曲线C2交于P1、P2、P3、P4四个点，F1和F2分别是C1的左右焦点，也是C2的左右焦点，并且六边形是正六边形.若椭圆C1的方程为，则双曲线方程为______.类型二、巧设方程法1．已知双曲线经过点，，则其标准方程为（       ）A． B．C． D．或2．（多选题）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线与椭圆有相同的焦距，且一条渐近线方程为，则双曲线的方程可能为（       ）A． B． C． D．3、焦点在坐标轴上，且经过点的双曲线标准方程为4、经过点，且与双曲线有相同的焦点的双曲线标准方程为。类型三、定义法1．已知点F1(－3,0)和F2(3,0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为( )A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1(y>0) B.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1(x>0)C.eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1(y>0) D.eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1(x>0)2．焦点坐标为，且经过点的双曲线标准方程为。3、相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，则炮弹爆炸点所在的曲线的方程为．方法点拨求双曲线标准方程的基本方法：（1）定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值（2）待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)提醒：求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论．也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)求解。巩固练习1．若双曲线的焦点到其渐近线的距离为，则双曲线的方程为（       ）A． B．C． D．2．方程－＝12的化简结果为（       ）A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1(x＞0) D．－＝1(x＞0)3．已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（       ）A． B．C． D．4．与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程是（       ）A． B．C． D．5．已知双曲线的下、上焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（       ）A． B．C． D．6．如图1，北京2022年冬奥会比赛场地之一首钢滑雪大跳台与电力厂的冷却塔交相辉映，实现了它与老工业遗址的有效融合.如图2，冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面.它的最小半径为，上口半径为，下口半径为，高为.在冷却塔的轴截面所在平面建立如图3所示的平面直角坐标系，设，，，，则双曲线的方程近似为（       ）（参考数据：，，）A． B． C． D．7．（多选）已知中心在原点，且关于坐标轴对称的双曲线M的离心率为，且它的一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线M的方程可能是（       ）A． B． C． D．8．（多选题）已知双曲线的两个顶点分别为，，，的坐标分别为，，且四边形的面积为，四边形内切圆的周长为，则双曲线的方程可以为（       ）A． B．C． D．9．（多选题）已知双曲线，其焦点到渐近线的距离为，则下列说法正确的是（       ）A．双曲线的方程为 B．双曲线的渐近线方程为C．双曲线的离心率为 D．双曲线上的点到焦点距离的最小值为10．若双曲线经过点，其渐近线方程为，则双曲线的方程是___________.11．写出中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点P(1，-4)的等轴双曲线的标准方程：____________.12．已知双曲线的一条渐近线与直线平行，且双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程是______．13．经过两点的双曲线的标准方程是________．14．已知双曲线的一个焦点坐标为，且该焦点到双曲线渐近线的距离为，则双曲线的标准方程为________．15．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦距为6，顶点为，；(2)顶点为，，虚轴长为2；(3)实轴长和虚轴长相等，且经过点．16．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点，，一个顶点为；(2)一个焦点为，离心率为3；(3)一条渐近线为，且过点；(4)经过点，.17．（1）求离心率为，虚半轴长为2的双曲线的标准方程．（2）已知双曲线的焦点在y轴上，焦距为16，渐近线方程为y＝±x，求双曲线的标准方程．（3）已知双曲线的焦距为16，渐近线方程为y＝±x，求双曲线的标准方程．（4）求一条渐近线方程为3x＋4y＝0，且经过点的双曲线的标准方程．18．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)顶点在x轴上，焦距为10，离心率是；(2)一个顶点的坐标为，一个焦点的坐标为；(3)焦点在y轴上，一条渐近线方程为，实轴长为12；(4)渐近线方程为，焦点坐标为和．19．设双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，渐近线分别为l1，l2，过F2作渐近线的垂线，垂足为P，且△OPF1的面积为．(1)求双曲线C的离心率；(2)动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、四象限），且△OAB的面积恒为8，是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线C，若存在，求出双曲线C的方程；若不存在，说明理由．