椭圆必会十大基本题型讲与练06以椭圆为情景的定值问题典例分析1、已知椭圆经过点，离心率为，过原点作两条直线，直线交椭圆于，直线交椭圆于，且.(1)求椭圆的方程；(2)若直线的斜率分别为，求证：k1k2为定值.【答案】(1)(2)见解析【分析（2）】看问题：求证：k1k2为定值（属于定值问题）想方法：（1）由特殊到一般：从特殊值入手，求出定值，再证明这个值与变量无关。（2）选参消参：合理选择参数(参数可能是直线的斜率、截距,也可能是动点的坐标等),使用参数表达其中变化的量,再使用这些变化的量表达需要求解的解题目标，然后消去参数得到定值.其基本步骤如下：一选：选择变量，一般为点的坐标、直线的斜率等；二化：把要求解的定值表示成含上述变量的式子，并利用其他辅助条件来减少变量的个数，使其只含有一个变量或者有多个变量，但是能整体约分也可以；三定值：由题目的结论可知要证明为定值的量必与变量的值无关，故求出的式子必能化为一个常数，所以只需对上述式子进行必要的化简即可得到定值.看条件：过原点且斜率分别为k1k2的直线与椭圆分别交于、两点，由此可得A与C、B与D关于原点对称，且A、C、B、D四点的坐标满足椭圆的方程，。定措施：设，，则，，由斜率公式求出k1，k2，是用表示的QUOTE????(????1,????1)，然后消去，即可得到定值。【解析】(1)由题意知，且，解得，，椭圆的方程为；（2）由对称性可知，四边形是平行四边形，设，，则，，由，得，，所以，，故为定值2.已知动直线QUOTE????l与焦点坐标为QUOTE(−3,0)(−3,0)，离心率为QUOTE3535的曲线QUOTE????C相交于QUOTE????,????M,N两点（QUOTE????O为曲线QUOTE????C的坐标原点），且QUOTE????????????????????=10SΔOMN=10.（1）求曲线QUOTE????C的标准方程；（2）证明：QUOTE????12+????22x12+x22和QUOTE????12+????22y12+y22都为定值.【答案】（1）QUOTE????225+????216=1x225+y216=1（2）详见解析【分析（2）】看问题：求证：QUOTE????12+????22x12+x22和QUOTE????12+????22y12+y22都为定值.（属于定值问题）想方法：（1）由特殊到一般：从特殊值入手，求出定值，再证明这个值与变量无关。（2）选参消参：合理选择参数(参数可能是直线的斜率、截距,也可能是动点的坐标等),使用参数表达其中变化的量,再使用这些变化的量表达需要求解的解题目标，然后消去参数得到定值。.看条件：动直线QUOTE????l与椭圆x225+y216=1交于QUOTE????,????M,N两点，且QUOTE????????????????????=10SΔOMN=10.x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2，y12+y22=16(1−x1225)+16(1−x2225)，定措施：设直线QUOTE????l的方程为QUOTE????=????????+????y=kx+m，代入QUOTE????225+????216=1x225+y216=1，由根与系数关系求出QUOTE????1+????2=−50????????16+25????2x1+x2，QUOTE????1????2=25(????2−16)16+25????2x1x2，代入x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2，y12+y22=16(1−x1225)+16(1−x2225)，然后消去，即可得到定值。【解析】（1）∵曲线QUOTE????C的离心率为QUOTE3535，∴该曲线为椭圆，∵曲线QUOTE????C的焦点坐标为QUOTE(−3,0)(−3,0)，QUOTE????=????????=35e=ca=35，∴QUOTE????=3c=3，QUOTE????=5a=5，∴QUOTE????2=????2−????2=52−32=16b2=a2−c2=52−32=16∴曲线QUOTE????C的标准方程为QUOTE????225+????216=1x225+y216=1（2）①当直线QUOTE????l的斜率不存在时，当QUOTE????,????M,N关于QUOTE????x轴对称，设QUOTE????(????1,????1),????(????2,????2)M(x1,y1),N(x2,y2)，得QUOTE????1=????2x1=x2，QUOTE????1=−????2y1=−y2，QUOTE????M在椭圆上，得QUOTE????1225+????1216=1x1225+y1216=1，又∵QUOTE????????????????????=10SΔOMN=10，得QUOTE????1????1=10x1y1=10联立QUOTE????1225+????1216=1x1225+y1216=1与QUOTE????1????1=10x1y1=10，可得QUOTE????12=????22=252x12=x22=252，∴QUOTE????12+????22=25x12+x22=25，同理可得：QUOTE????12+????22=16y12+y22=16②当直线QUOTE????l的斜率QUOTE????k存在时，设直线QUOTE????l的方程为QUOTE????=????????+????y=kx+m，代入QUOTE????225+????216=1x225+y216=1，得QUOTE(16+25????2)????2+50????????????+25(????2−16)=0(16+25k2)x2+50mkx+25(m2−16)=0，∵QUOTE16+25????2>016+25k2>0，且直线与曲线QUOTE????C有两个交点，∴由根与系数关系的QUOTE????1+????2=−50????????16+25????2x1+x2=−50mk16+25k2，QUOTE????1????2=25(????2−16)16+25????2x1x2=25(m2−16)16+25k2，∴QUOTE????????=1+????2·(????1+????2)2−4????1????2=1+????2·4025????2+16−????225????2+16MN=1+k2·(x1+x2)2−4x1x2=1+k2·4025k2+16−m225k2+16因为QUOTE????O到直线QUOTE????l的距离QUOTE????=????1+????2d=m1+k2，QUOTE????????????????????=10SΔOMN=10，∴QUOTE????????????????????=12????????·????=20????|25????2+16−????2|25????2+16=10SΔOMN=12MN·d=20m|25k2+16−m2|25k2+16=10令QUOTE25????2+16=????25k2+16=t，即有QUOTE????????−????2????=12mt−m2t=12，可推出QUOTE????2−4????2????+4????4=0t2−4m2t+4m4=0，得QUOTE????=2????2t=2m2即QUOTE25????2+16=2????225k2+16=2m2，此时QUOTE????12+????22=(????1+????2)2−2????1????2=25(16+25????2−????2)????2=25x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=25(16+25k2−m2)m2=25QUOTE????12+????22=16(1−????1225)+16(1−????2225)=16−16(????1225+????2225)+16=16y12+y22=16(1−x1225)+16(1−x2225)=16−16(x1225+x2225)+16=16,综上所述，QUOTE????12+????22=25x12+x22=25，QUOTE????12+????22=16y12+y22=163．已知椭圆过点，且半焦距．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，已知，过点的直线l与椭圆相交于两点，直线与x轴分别相交于两点，试问是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．【答案】（1）；（2）为定值，且．【分析（2）】看问题：探索是否为定值（属于定值问题）想方法：（1）由特殊到一般：从特殊值入手，求出定值，再证明这个值与变量无关。（2）选参消参：合理选择参数(参数可能是直线的斜率、截距,也可能是动点的坐标等),使用参数表达其中变化的量,再使用这些变化的量表达需要求解的解题目标，然后消去参数得到定值。.看条件：过点的直线l与椭圆相交于两，直线与x轴分别相交于两点，定措施：设直线l的方程为，求出直线的方程再求点M的坐标，同理再求点N的坐标，然后求出，是用表示的QUOTE????(????1,????1)，结合韦达定理，消去参数，可得为定值.【详解】（1）设椭圆C的左、右焦点分别为，则，由椭圆的定义可得，解得，所以，所以椭圆C的标准方程为．（2）设直线l的方程为，当直线的斜率不存在时，易知直线与椭圆C相切，不符合题意，同理可得直线的斜率存在，故直线的方程为，则，即，同理．由得，由得，又，所以，故为定值，且．【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．4、【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知椭圆C：的离心率为，且过点A（2，1）．（1）求C的方程：（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．【解析】（1）由题设得，，解得，．所以的方程为．（2）设，．若直线与轴不垂直，设直线的方程为，代入得．于是．①由知，故，可得．将①代入上式可得．整理得．因为不在直线上，所以，故，．于是的方程为.所以直线过点.若直线与轴垂直，可得.由得.又，可得.解得（舍去），.此时直线过点.令为的中点，即.若与不重合，则由题设知是的斜边，故.若与重合，则.综上，存在点，使得为定值.方法点拨定值是证明求解的一个量与参数无关,解这类试题时要会合理选择参数(参数可能是直线的斜率、截距,也可能是动点的坐标等),使用参数表达其中变化的量,再使用这些变化的量表达需要求解的解题目标.当使用直线的斜率和截距表达直线方程时,在解题过程中要注意建立斜率和截距之间的关系,把双参数问题化为单参数问题解决.求定值问题常用的方法有两种：（1）从特殊值入手，求出定值，再证明这个值与变量无关。（2）直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定值。其求解步骤一般为：一选：选择变量，一般为点的坐标、直线的斜率等；二化：把要求解的定值表示成含上述变量的式子，并利用其他辅助条件来减少变量的个数，使其只含有一个变量或者有多个变量，但是能整体约分也可以；三定值：由题目的结论可知要证明为定值的量必与变量的值无关，故求出的式子必能化为一个常数，所以只需对上述式子进行必要的化简即可得到定值.巩固练习1．已知过原点的动直线与椭圆交于，两点，为椭圆的上顶点，若直线，的斜率存在且分别为，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题知，可设，，则，又在椭圆上，故，即，所以.故答案为：.2．“过原点的直线交双曲线于，两点，点为双曲线上异于，的动点，若直线，的斜率均存在，则它们之积是定值”．类比双曲线的性质，可得出椭圆的一个正确结论：过原点的直线交椭圆于，两点，点为椭圆上异于，的动点，若直线，的斜率均存在，则它们之积是定值（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用椭圆与双曲线方程形式上的类似，结合椭圆方程化简即可得到的值.【详解】“过原点的直线交双曲线于，两点，点为双曲线上异于，的动点，若直线，的斜率均存在，则它们之积是定值”，类比双曲线的性质，可得出椭圆的一个正确结论：过原点的直线[交椭圆：于，两点，若直线，的斜率均存在，则，证明如下：设，则，且，设，则，所以又，，代入可得：故选：B【点睛】类比推理的一般步骤是:(1)