成都石室中学2024-2025学年度上期高2025届定时练习数学本试卷共8页。满分150分，考试时间120分钟。注意事项：答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。5．考试结束后，只将答题卡交回。一、单选题1、已知集合A={x|y=ln(5−x),x∈N}，B={y|y=ex}，则A∩B的子集个数为（     ）A.4    B.14    C.15    D.162、“m=−3”是“直线l1:(m+1)x+2y+1=0与直线l2:3x+my+1=0平行”的（     ）A.充要条件    B.必要不充分条件     C.充分不必要条件      D.既不充分也不必要条件3、四川省将从2022年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”为首选科目，即物理与历史二选一.某校为了解学生的首选意愿，对部分高一学生进行了抽样调查，制作出如下两个等高堆积条形图，则下列结论正确的是（     ）A.样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数B.样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数C.样本中选择物理学科的人数较多                 D.样本中男生人数少于女生人数4、已知{an}为等比数列，a2a3a7=a4a6，a9a10=−27，则a7=（    ）A.3    B.2    C.−2    D.−35、已知函数f(x)=lnx的图像与直线y=ax+1相切，则a的值为（     ）A.1e           B.1e2           C.e            D.e26、已知M，N 分别是正四面体ABCD中棱AD，BC的中点，若点E是棱CD的中点.则MN与AE所成角的余弦值为（     ）A.−33    B.33    C.−66    D.667、若a=sin13+23，b=cos13+118，则（     ）A.a>1>b      B.a>b>1       C.1>b>a          D.b>1>a8、若直线l1和直线l2相交于一点，将直线l1绕该点按逆时针旋方向转到与l2第一次重合时所转的角为θ，则角θ就叫做l1到l2的角，tanθ=k2−k11+k1k2，其中k1,k2分别是l1,l2的斜率，若双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，A是右顶点，P是直线x=a2c上的一点，e是双曲线的离心率，∠APF=θ，则tanθ的最大值为（     ）A.121+e    B.2e1+e    C.e21+e    D.e21+2e二、多选题9、下列命题中，正确的是（    ）A.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，若P(X≤0)=0.3，则P(X<4)=0.3B.用X表示n次伯努利试验中事件A发生的次数，p为每次试验中事件A发生的概率，若E(X)=150,D(X)=50，则p=23C.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设A=“第一枚正面朝上”，B=“第二枚反面朝上”，则有:P(B∣A)=P(B)D.已知随机变量X的分布列为P(X=i)=ai(i+1)(i=1,2,3,⋯,100)，则a=10110010、设函数f(x)=ax3−3x2+1，则（    ）A.当a<0时， x=0是f(x)的极小值点B.当00 D.若f(x)满足f(x)+f(2−x)=−2，则a=111、已知{an}满足a1=1，an+12−(n−1)anan+1−nan2=0，记{nan+1}的前n项和为Tn，{Tn}的前n项和为Sn，则下列说法中不一定正确的是（    ）A.{an+1an}是等比数列               B.{an}的通项公式为an=(n−1)!或an=(−1)n−1C.若an>0，则Tn=(n+1)!−1        D.若anan+1<0，则S2n为定值三、填空题12、若 (x+2)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则 a5+a3+a1a4+a2+a0=            .13、学校从高一、高二、高三中各选派10名同学参加“建党100周年党史宣讲”系列报告会，其中三个年级参会同学中女生人数分别为5、6、7，学习后学校随机选取一名同学汇报学习心得，结果选出一名女同学，则该名女同学来自高三年级的概率为        .14、已知不等式xex−ax≥ex+b对任意x∈R恒成立，则当ba取最大值时，a=       .四、解答题15、（本小题13分）已知集合A={x|−3<2x+1<7}，B={x|x+4x−2＞0}，C={x|3a−2≤x≤a+1}.(1)求A∩(CRB)；(2)若“p:x∈CR(A∪B)”是“q:x∈C”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.16、(本小题满分15分)如图，在四棱锥P−ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠ABC=π3，H为BC的中点，PA=PB=PH=2.E为PD上的一点，已知PD=4PE.(1)证明：平面PAB⊥平面ABCD；(2)求平面EAC与平面PAB夹角的余弦值.17、（本小题15分）为了了解高中学生课后自主学习数学时间（x分钟/每天）和他们的数学成绩（y分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）.编号12345学习时间x3040506070数学成绩y65788599108（1）请利用散点图说明该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出y关于x的回归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩；（参考数据：i=15xiyi=22820,i=15yi=435,i=15yi2=38999,107.42≈11540，xi的方差为200）(2)基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习.经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生.按照是否参与周末在校自主学习及成绩是否有进步统计，得到2×2列联表（表二）.依据表中数据及小概率值α=0.001的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关.没有进步有进步合计参与周末在校自主学习35130165未参与周末不在校自主学习253055合计60160220附：方差：S2=1ni=1n(xi−x−)2，回归方程y^=bx+a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b^=i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2，a^=y−−b^x−，χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).α0.100.050.0100.0050.001χα2.7063.8416.6357.87910.82818、(本小题满分17分)经过圆O:x2+y2=5上一动点P作椭圆C:x24+y2=1的两条切线，切点分别记为A,B，直线PA,PB分别与圆O相交于异于点P的M,N两点.(1)求证：OM→+ON→=0→；(2)求ΔOAB的面积的取值范围.（参考结论：点P(x0,y0)是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)外一点，过P作该椭圆的两条切线，切点为A,B，则直线AB的方程为x0xa2+y0yb2=1.)19、（本小题17分）已知函数f(x)=alnx+14x2−x+34(a>0)(1)判断f(x)的单调性；(2)若f(x)有且仅有一个零点，求a的取值范围；(3)若a取第(2)问所求范围的最小值，且数列{an}满足，a1=2，an+1=f(an)+54an−14an，求证：∀n∈N∗， k=1n|ak−1|<43.成都石室中学2024-2025学年度上期高2025届开学考试数学参考答案1-8DACDBDDC9BCD10BD11AB12、【答案】13、【答案】14、【答案】e15、【答案】（1）因为，又，..2分所以………………………………………….………………5分（2），所以………………7分因为“”是“”的充分不必要条件，则，………9分又，所以或，…………..…………………12分综上所述，的取值范围为.…………………………13分16、【答案】（1）取中点，连接，，∵，为中点，∴，…………….……1分∵，，∴，∵四边形为菱形，，∴为等边三角形，∴，又,分别为,中点，∴，∴，即，………………………………………………………..3分∵， 平面,平面，∴平面，…5分∵平面，∴平面平面.……………………………………………6分（2）连接，由（1）知： 为等边三角形，∴，，又平面，，∴，，………………7分以为坐标原点，,,所在直线分别为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，则， ∴，由得：，∴，设平面的法向量，则， 令，解得：，∴，……………………………………10分∵轴平面，∴平面的一个法向量，……………..………11分设平面与平面的夹角为，则………………………………………….…14分所以平面与平面夹角的余弦值为…...……………………………………15分17、【答案】（1）画出散点图(图略)可以得到这些样本点在某一条直线附近波动，说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合.………………………2分，，又的方差为，，………………………7分，故当时，，故预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩为140.5分………………………9分（2）零假设：周末在校自主学习与成绩进步无关………………………10分根据数据，计算得到：………………13分因为，所以依据小概率值的独立性检验，我们推断H0不成立，可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关.，此推断犯错误的概率不大于0.001………15分18、【答案】（1）证明：设点．①当直线的斜率都存在时，设过点与椭圆相切的直线方程为．联立，消去得：，，…………………………………………….…2分令，整理得：．………….…3分设直线的斜率分别为．∴．又,∴．∴，即为圆的直径，∴．………………………………….…5分②当直线或的斜率不存在时，不妨设，则直线的方程为∴点，点，也满足．……………………………………….………….…6分综上所述，证得．……………………………………………………………………………………..…7分（2）设点，则直线的方程为．………………………………………..…8分若时，令，则直线的方程为，，∴.………………………………………………………………………………….…9分若时，联立，消去得．∴，，………………………………………………………………………..…11分∴．……………………………………………..………………..…13分又点到直线的距离：．…………………………………….…..…14分，……………………………………………………..…15分令，．则，又，…………..….…16分∴的面积的取值范围为.……………………………………………………………………………..…17分19、【答案】（1）1分 ， 令，对称轴，，1当时，，则，在单调递增2分2当时，，令，得， 时，则，；时，则，；时，则，在上单调递增, 上单调递减，上单调递增4分综上，时，在单调递增;时，在上单调递增, 上单调递减，上单调递增.5分 （2）易知，由（1）可得1当时，在单调递增，又有且仅有一个零点6分2时，在上单调递增, 上单调递减，上单调递增；，又，，在上有一个零点；又时，；时，在上各有有一个零点；有三个零点8分综上9分（3），令，，所以在上单调递增，所以当时，，所以，即，所以由可得当，则 因此，若存在正整数，使得，则，从而，重复这一过程有限次后可得，与矛盾，从而，对，11分下面我们先证明，当时