四川省大数据精准教学联盟2022级高三第一次统一监测数学本试卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、班级、考场/座位号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”.2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其他答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知为虚数单位，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据条件，利用复数运算法则及虚数单位的性质，即可求解.【详解】因为故选：B.2.已知集合，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据条件，利用充分条件和必要条件的判断方法，即可求出结果.【详解】当时，，此时，即可以推出，若，所以，得到，所以推不出，即“”是“”的充分不必要条件，故选：A.3.若双曲线：的一条渐近线的斜率为，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出双曲线的渐近线方程为，结合条件得到，即可求解.【详解】因为双曲线的渐近线方程为，由题知，所以离心率，故选：B.4.如图，在中，点，分别在，边上，且，，点为中点，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据条件，结合图形，利用向量的中线公式，得到，再利用向量的线性运算，即可求解.【详解】因为点为中点，所以，又，，所以故选：C.5.一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去天的日销售量（单位：kg），将全部数据按区间50,60，60,70，…，90,100分成5组，得到如图所示的频率分布直方图：根据图中信息判断，下列说法中不恰当的一项是（）A.图中的值为B.这天中有天的日销售量不低于kgC.这天销售量的中位数的估计值为kgD.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能地满足顾客的需要（在天中，大约有天可以满足顾客的需求），则每天的苹果进货量应为kg【答案】D【解析】【分析】选项A，利用频率分布直方图的性质，即可求解；选项B，利用频率分布直方图，得到不低于kg的频率为，即可求解；选项C，设中位数为，根据条件，建立方程，即可求解；选项D，将问题转化成求第分位数，即可判断出正误.【详解】对于选项A，由图知，解得，所以选项A正确，对于选项B，由图知日销售量不低于kg的频率为，由，所以选项B正确，对于选项C，设中位数为，由，解得，所选项C正确，对于选项D，设第分位数为，则有，得到，所以选项D错误，故选：D.6.函数，的图象大致为（）A B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据条件，得到为奇函数，从而可排除选项A和B，再结合与在上的正负值，即可求解.【详解】因为定义域关于原点对称，又，即为奇函数，所以选项A和B错误，又当时，，当时，，此时，又易知当时，，所以时，，结合图象可知选项C错误，选项D正确，故选：D.7.已知正四棱锥的各顶点都在同一球面上，且该球的体积为，若正四棱锥的高与底面正方形的边长相等，则该正四棱锥的底面边长为（）A.16 B.8 C.4 D.2【答案】C【解析】【分析】根据正四棱锥及球的特征、体积公式结合勾股定理计算即可.【详解】如图所示，设P在底面的投影为G，易知正四棱锥的外接球球心在上，不妨设球半径，该球的体积为，即，又正四棱锥的高与底面正方形的边长相等，则，即.故选：C8.已知，且满足，，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】构造函数，利用导数研究其单调性，结合二倍角公式及余弦函数图象计算即可.【详解】令，则，所以fx,gx均单调递增，又，所以，，由，即为的零点，而，即为的零点，作出大致图象如上，易知，因为，综上.故选：A【点睛】方法点睛：对于比大小问题，通常利用构造函数的方法，利用导数研究其单调性，还可以通过数形结合的方法比较大小.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数最小正周期为，则（）A.的最大值为2B.在上单调递增C.的图象关于点中心对称D.的图象可由的图象向右平移个单位得到【答案】ACD【解析】【分析】利用辅助角公式及周期公式可得函数解析式，根据三角函数的值域、单调性、对称性及图象变换一一判定选项即可.【详解】易知，其最小正周期为，所以，即，显然，故A正确；令，显然区间不是区间的子区间，故B错误；令，则是的一个对称中心，故C正确；将的图象向右平移个单位得到，故D正确.故选：ACD10.已知椭圆的左顶点为，左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆相交于两点，则（）A.B.C.当不共线时，的周长为D.设点到直线的距离为，则【答案】BCD【解析】【分析】根据椭圆方程、焦点弦性质和椭圆定义可知ABC正误；设Px0,y0，结合两点间距离公式和点在椭圆上可化简求得D正确.【详解】对于A，由题意知：，，，，A错误；对于B，为椭圆的焦点弦，，B正确；对于C，，的周长为，C正确；对于D，作垂直于直线，垂足为，设Px0,y0，则，，，，，D正确.故选：BCD.11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.的极小值一定小于B.函数有6个互不相同的零点C.若对于任意的x∈R，，则的值为D.过点有且仅有1条直线与曲线y=fx相切【答案】ACD【解析】【分析】对于A项，利用导数研究函数的单调性结合隐零点判定极小值点的范围，计算即可；对于B项，利用数形结合的思想结合A的结论即可判定；对于C项，含参讨论结合端点效应计算即可；对于D项，利用导数的几何意义转化为函数零点个数的问题，根据导数研究函数的单调性与极值、最值即可.【详解】对于A，易知，令，易知上单调递减，上单调递增，而时恒成立，且，，所以使得，则在上单调递减，在上单调递增，即时，取得极小值，极小值为，故A正确；对于B，由上知在上单调递减，在上单调递增，且，，则，使得，又知则，显然存在两个不同的根，且也存在两个不同的根，即函数有4个互不相同零点，故B错误；对于C，若对于任意的，，即，令，若，则，根据上证的性质知，使得，即上单调递减，此时，不符合题意，若，则有在上单调递减，上单调递增，即，符合题意，若，此时，则区间上一定存在子区间使得单调递增，而，则含有小于零的值，不符合题意，故C正确；对于D，设过与曲线相切的切线切点为，则，整理得，令，可得上单调递减，上单调递增，即时取得极大值，，则使得，且的根唯一，故D正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：对于A项，利用隐零点判定极小值点的范围，结合单调性即可判定；对于B项，利用数形结合的思想结合A的结论即可判定；对于C项，利用端点效应含参讨论即可；对于D项，利用导数的几何意义转化为函数零点个数的问题，根据导数研究函数的单调性与极值、最值即可.本题需要多积累一些常用函数的图象与性质可提高做题速度，如：型.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.12.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则________.【答案】【解析】【分析】利用三角函数的定义先计算，再利用二倍角公式计算即可.【详解】由题意可知，所以，故答案为：13.已知数列an满足，，，设an的前项和为，则________.【答案】【解析】【分析】根据题意可得数列为等差数列，设出公差及首项，再结合与，从而可求解.【详解】由，所以，所以数列为等差数列，并设其公差为，首项为，又因为，即，解得，因为，所以，，所以.故答案为：.14.条件概率与条件期望是现代概率体系中的重要概念，近年来，条件概率和条件期望已被广泛的应用到日常生产生活中.定义：设，是离散型随机变量，则在给定事件条件下的期望为，其中为的所有可能取值集合，表示事件“”与事件“”都发生的概率.某商场进行促销活动，凡在该商场每消费500元，可有2次抽奖机会，每次获奖的概率均为，某人在该商场消费了1000元，共获得4次抽奖机会.设表示第一次抽中奖品时的抽取次数，表示第二次抽中奖品时的抽取次数.则________.【答案】2【解析】【分析】根据题意可知可取，然后再分别算出相应的概率值，再结合从而可求解.【详解】由题意可知可取，所以，，，又因为，所以.故答案为：.【点睛】方法点睛：对于本题主要是根据题中所给条件分别求出不同情况下的概率，然后再结合定义中的公式求出其期望值.四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知的内角，，的对边分别为，，，且.（1）求角；（2）若的平分线交边于点，且，，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化角为边结合余弦定理计算即可；（2）利用余弦定理先计算与，再根据三角形内角和计算，利用正弦定理得c，由面积公式计算即可.【小问1详解】因为，所以，则，所以，因为，所以；【小问2详解】根据题意及余弦定理有，所以，则，根据正弦定理有，所以.16.如图，在三棱锥中，平面，.（1）求证；平面平面；（2）若，，三棱锥的体积为100，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由平面得到，再结合，可证明平面，从而可求解；（2）由题意知求出，建立空间直角坐标系，再利用空间面面夹角向量方法，从而可求解.【小问1详解】证明：由题意得平面，因为平面，所以，又因为，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.【小问2详解】因为，，，所以，又因为三棱锥体积为，即，得，由题意可得以原点，分别以平行于，及，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，所以，，，设平面的一个法向量为，则，令，得，则，设平面的一个法向量为，则，令，得，则，设二面角为，则.所以锐二面角的余弦值为.17.已知函数.（1）若在上单调递减，求的取值范围；（2）若，证明：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意可得在区间上恒成立，构造函数，求得其最大值，即可得到结果；（2）根据题意要证等价于证明，构造函数，利用导数求出其最小值，从而可求解.【小问1详解】由，则，因为在上单调递减，所以在上恒成立，所以，即，构造函数，所以，当时，；当时，，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以当x=1时取得极大值也是最大值，即，所以，所以的取值范围为.【小问2详解】由题意得的定义域为，当时，要证，即证：，等价于证明构造函数，即证；所以，令，因为函数的对称轴为，所以在上单调递增，且，，所以存在，使，所以当时，，即，当时，，即，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，有极小值也是最小值，又因为，得，所以，令，则在上恒成立，所以在上单调递减，所以，即，所以即证，所以可证.18.甲、乙两名同学进行定点投篮训练，据以往训练数据，甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，各次投篮互不影响、现甲、乙两人开展多轮次的定点投篮活动，每轮次各投个球，每投进一个球记分，未投进记分.（1）求甲在一轮投篮结束后的得分不大于的概率；（2）记甲、乙每轮投篮得分之和为.①求的分布列和数学期望；②若，则称该轮次为一个“成功轮次”.在连续轮次的投篮活动中，记“成功轮次”为，当为何值时，的值最大？【答案】（1）（2）①分布列见解析，；②或或【解析】【分析】（1）将问题转化成甲在一轮投篮中至多命中一次，再利用对立事件和相互独立事件同时发生的概率公式，即可求解；（2）①由题知可能取值为，根据条件，求出相应的概率，即可求出分布列，再利用期望公式，即可求解；②根据条件，得到，再由，即可求解.【小问1详解】甲在一轮投篮结束后的得分不大于，即甲在一轮投篮中至多命中一次，所以甲在一轮投篮结束后的得分不大于的概率为.【小问2详解】①由题知可能取值为，，，，，，所以的分布列为数学期望