2024~2025学年度第一学期高三年级第一次联考数学试卷2024.9总分：150分时间：120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将答题卡交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合，若，则a=A． B． C． D．2．若为第二象限角，则A． B． C．D．3．函数的定义域为A．B．C．D．4.已知圆锥的底面半径为，侧面积为，则圆锥的体积为A． B． C．D．5．已知，且与夹角为锐角，则实数的取值范围是A． B． C． D．6．已知是两个不重合的平面，为两条不同的直线，给出下列命题，其中是真命题的个数是①若，则②若，则③若，则④若，则 B． C． D．函数有且仅有4个零点，则实数的取值范围是A． B． C． D．8．已知正实数，则“”是“”的充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．下列导数运算正确的是A． B． C． D．10．设函数，则下列说法正确的是A．是奇函数 B．在上是单调函数C．的最小值为1D．当时，11．如图，在棱长为1的正方体中，点为线段的中点，且点满足，则下列说法正确的是A．若，则B．若，则平面C．若，则平面D．若时，直线与平面所成的角为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知角的终边经过点，则.13．在平面直角坐标系中，已知点，点在二次函数图象上，且使得的面积为，若满足条件的点共有两个，则实数的取值范围.14．函数与和分别交于，两点，设在处的切线的倾斜角为，在处的切线的倾斜角为，若，则.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知函数.（1）若，求函数的极值；（2）讨论函数的单调性.▲▲▲16．（15分）如图，平行六面体中，与交于点，底面是边长为的正方形，且底面.（1）证明：；（2）若二面角的正切值为，求直线与平面所成角的余弦值.▲▲▲17.（15分）已知.（1）若，，求的值；（2）证明：.▲▲▲18．（17分）设计一个帐篷，它下部的形状是正四棱柱，上部的形状是正四棱锥，且该帐篷外接于球（如图所示）.（1）若正四棱柱是棱长为的正方体，求该帐篷的顶点到底面中心的距离；（2）若该帐篷外接球的半径，设，该帐篷的体积为，则当为何值时，体积取得最大值.▲▲▲19．（17分）函数满足：对任意，恒成立（或恒成立），则称直线是函数在上的支撑线.（1）下列哪些函数在定义域上存在支撑线？选择其中一个证明；①②③④（2）动点在函数图象上，直线是在定义域上的支撑线，求点到直线的距离最小值；（3）直线是函数在上的支撑线，求实数的取值范围.▲▲▲2024~2025学年度第一学期高三年级第一次联考数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。1．A2．C3．B4．A5．D6．B7．C8．C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。9．ACD10．ABD11．BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．513．(8,10)14．3ln3四、解答题：本题共5小题，共77分。15．（1）....................................1分所以时，；时，则在上递减，在递增....................................4分所以的极小值为，极大值为....................................6分（2）....................................7分当时，，所以在上递增....................................9分当时，时，；时，所以在上递增，在上递减....................................11分当时，时，；时，所以在上递增；在上递减.....................................13分16.（1）证明：正方形，...................................1分底面，面，....................................3分，，面，面....................................5分又面，....................................6分又平行六面体，....................................7分法一：综合法（略）；法二：向量法取中点，连接正方形，底面，面，，，面，面又面，是二面角的平面角...................................10分又二面角的正切值为，....................................11分建立如图所示的空间直角坐标系则底面,底面的一个法向量为....................................13分设直线与平面所成角为....................14分....................................15分17.（1）......................2分....................................3分....................................5分...................................6分....................................7分（2）欲证，即证即证即证即证即证即证，证毕.....................................15分18.（1）正四棱柱是棱长为的正方体.....................................2分.....................................4分（2）.....................................7分.................10分令.....................................12分在上递增，在递减.....................................16分时，体积取得最大值.....................................17分19.（1）③④证明：，是一条支撑线.....................................3分（）（2）直线是在定义域上的支撑线若，则时，；时，，不合题意....................................4分直线是在定义域上的支撑线，恒成立令，时，；时，在上递增，在上递减的最大值为又易证在上递减，在上递增.....................................7分设，在处的切线斜率为所以当在处的切线斜率为即时，点到直线的距离取得最小值为.....................................9分直线是函数在上的支撑线①若在上恒成立记.....................................10分当时，，在上单调递减，，符合题意.........11分当时，，符合题意.....................................13分当时，，在上单调递减，，符合题意............14分当时，在上单调递增，上单调递减，，不符合题意.....................................15分②若在上恒成立在上不符合题意综上，符合题意......................................17分