银川一中2025届高三年级第二次月考数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．作答时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷及草稿纸上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1.设集合，，若，则集合（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据交集结果知，将x=1代入方程求出，再求集合即可.【详解】由可知：，当时，，解得：x=1或，即．故选：B2.已知函数恒过定点，则函数的图象不经过（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】利用指数函数的性质求解．【详解】，恒过定点，，，，其图象如图所示，因此不经过第四象限，故选：D．3.已知实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由数轴知，不妨取检验选项得解.【详解】由数轴知，不妨取，对于A，，不成立.对于B，，不成立.对于C，，不成立.对于D，，因此成立.故选：D．【点睛】利用不等式性质比较大小．要注意不等式性质成立的前提条件．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．4.已知函数及其导函数的定义域均为R，且为奇函数，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】取，，逐项判断.【详解】解：因为函数及其导函数的定义域均为R，且为奇函数，所以不妨设，则，，故BD错误；取，则，故A错误，C正确，故选：C5.如图为函数在上的图像，则的解析式只可能是（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】判断函数的奇偶性，结合函数在给定区间上的符号，利用排除法求解即可．【详解】对于B.的定义域为R，且，故为偶函数；对于D.的定义域为R，且，故为偶函数；由图象，可知奇函数，故排除B、D；对于C.当时，由，可知，则，而，此时，故排除D；故选：A.6.当时，曲线与交点的个数为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】【分析】分别画出与在上的函数图象，根据图象判断即可.【详解】与在上的函数图象如图所示，由图象可知，两个函数图象交点的个数为6个.故选：D.7.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知先利用和差角的正切公式进行化简可求，然后结合二倍角公式及同角基本关系对所求式子进行化简，即可求解.【详解】因为，，所以，，解得或（舍，则.故选：A.8.已知是定义域为R的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据奇偶函数构造方程组求出的解析式，再根据题意得到在单调递增，分类讨论即可求解．【详解】由题意可得，因为是奇函数，是偶函数，所以，联立，解得，又因为对于任意的，都有成立，所以，即成立，构造，所以由上述过程可得在单调递增，若，则对称轴，解得；若，则在单调递增，满足题意；若a>0，则对称轴恒成立；综上，．故选：B二．多项选择题（共3小题，满分18分，每小题6分）9.下列说法正确的是（）A.函数与是同一个函数B.若函数的定义域为，则函数的定义域为C.已知命题p：，，则命题p的否定为，D.定义在R上的偶函数满足，则函数的周期为2【答案】BCD【解析】【分析】A选项，两函数定义域不同；B选项，令，求出，得到函数定义域；C选项，全称量词命题的否定是特称量词命题，把任意改为存在，把结论否定；D选项，根据函数为偶函数得到f−x=fx，故，得到函数周期.【详解】A选项，的定义域为R，令，解得，故的定义域为，定义域不同，A错误；B选项，令，解得，故函数的定义域为，B正确；C选项，命题p的否定为，，C正确；D选项，偶函数，故f−x=fx，又，故，则函数的周期为2，D正确.故选：BCD10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.是函数的周期B.函数在区间上单调递增C.函数的图象可由函数向左平移个单位长度得到D.函数的对称轴方程为【答案】ACD【解析】【分析】利用三角函数图象与性质逐一判断选项即可.【详解】因为，所以是函数的周期，故A正确；∵，∴，又在上不单调，故B错误；∵函数向左平移个单位长度得到，故C正确；令，得，故D正确，故选：ACD．11.已知函数，其中实数，则下列结论正确的是（）A.在上单调递增B.当有且仅有3个零点时，的取值范围是C.若直线与曲线有3个不同的交点，且，则D.当时，过点可以作曲线的3条切线【答案】BCD【解析】【分析】选项A根据导函数及可判断单调性；选项B根据极大值极小值可得；选项C由三次函数对称中心可得；选项D，先求过点的切线方程，将切线个数转化为与图象交点个数，进而可得.【详解】选项A：由题意可得，令解得或，因为，所以令f′x>0解得或，令f′x<0解得，故在区间或上单调递增，在0,2上单调递减，故A错误，选项B：要使有且仅有3个零点时，只需即，解得，故B正确；选项C：若直线与曲线y=fx有3个不同的交点，且，则点是三次函数的对称中心，设，则，令，得，故的对称中心为1,f1，，故C正确；选项D：，设切点为，所以在点处的切线方程为：，又因为切线过点，所以，解得，令，过点可以作曲线y=fx的切线条数可转化为y=gx与图象交点个数，，因为，所以得或，得，则在，上单调递增，在上单调递减，且，，图象如图所示，所以当时，y=gx与图象有3个交点，即过点可以作曲线y=fx的3条切线，故D正确，故选：BCD三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）12.已知函数在处有极小值，则实数______．【答案】【解析】【分析】通过对函数求导，根据函数在处有极小值，可知，解得的值，再验证即可求出的值．【详解】因为，所以，所以，而函数在处有极小值，所以，故，解得或，当时，，令f′x<0，，令f′x>0，，故此时在上单调递增，在上单调递减，此时在处有极大值，不符合题意，排除，当时，，令f′x<0，，令f′x>0，，故此时在上单调递增，在上单调递减，此时在处有极小值，符合题意，故答案为：.13.已知函数y=fx为奇函数，且最大值为1，则函数的最大值和最小值的和为__________.【答案】2【解析】【分析】根据奇函数的性质求解即可.【详解】奇函数如果存在最值，则最大值和最小值之和为0，所以函数最大值和最小值之和为0，则函数的最大值和最小值之和为2.故答案为：2.14.在三角函数部分，我们研究过二倍角公式，我们还可以用类似方式继续得到三倍角公式．根据你的研究结果解决如下问题：在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】利用，再根据整体思想将转化为两角和的余弦值化简，再利用诱导公式可得，根据锐角三角形性质可得取值范围，从而得的取值范围，代入化简即可得出结论.【详解】三倍角公式：，因为，所以.故，△ABC为锐角三角形，故解得，故，．故答案为：四、解答题（共5小题，满分77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15已知函数.（1）讨论函数在区间上的单调性；（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）【解析】【分析】（1）求导，即可根据导函数的正负求解，（2）将问题转化为存在，成立，构造函数，求导得函数的最值即可求解．【小问1详解】，解得，因为x∈0,π，所以，当，当x∈3π4,π，f'x>0，所以在上单调递减，在上单调递增；【小问2详解】，当时，由可得不成立，当时，，令恒成立，故在单调递减，所以，所以的取值范围为.16.如图，是半圆的直径，为中点，，直线，点为上一动点（包括两点），与关于直线对称，记为垂足，为垂足．（1）记的长度为，线段长度为，试将表示为的函数，并判断其单调性；（2）记扇形的面积为，四边形面积为，求的值域．【答案】（1）在上单调递减（2）的值域为【解析】【分析】（1）由题意得，根据扇形弧长公式求得，再得长度为，从而得，利用导数判断其单调性；（2）根据扇形面积公式得，再得四边形面积为，从而得，求导确定单调性极值与最值即可的函数.【小问1详解】因，则由题意知，由题意可得，，圆半径为1，所以，又，所以，则恒成立，所以在上单调递减.【小问2详解】由题意可得，因为，所以四边形为矩形，于是，所以，其中，求导得，令得，即，则可得如下表格：极小值由表可知当时，，，所以的值域为.17.已知函数，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使的解析式唯一确定．条件①：；条件②：若，且的最小值为；条件③：图象的一条对称轴为．（1）求的解析式；（2）设函数，若，且，求的值．【答案】（1）所选条件见解析，；（2）【解析】【分析】（1）根据条件结合三角函数图象性质即可求解；（2）利用三角恒等变换和配凑角即可求解．【小问1详解】选择条件①②：由条件①，所以，解得，又，所以，由条件②得，得，所以，所以；选择条件①③：由条件①，所以，解得，又，所以．由条件③，得，解得，所以的解析式不唯一，不合题意；选择条件②③：由条件②得，得，所以，所以，又图象的一条对称轴为，所以，解得，又，所以，所以；【小问2详解】解：由题意得，因为，所以，即，又，所以，若，则，又，所以，因为，所以，又，所以，所以.18.已知函数．（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围；（3）讨论函数的零点个数．【答案】（1）；（2）；（3）时，有1个零点，时，有3个零点【解析】【分析】（1）由导数法求切线即可；（2）函数在区间上单调递增等价于在上恒成立，即在上恒成立，由均值不等式求最小值即可；（3）当，由（2）中在区间上单调递增可得有1个零点，当，由导数法讨论的单调性，再结合零点存在定理判断即可.【小问1详解】，，，当时，，故函数在点处的切线方程为；【小问2详解】函数在区间上单调递增等价于在上恒成立，即在上恒成立，∵，当且仅当即时成立，故实数a的取值范围为；【小问3详解】由（2）得，当，函数在区间上单调递增，又，故有1个零点；当，令，由得，，，，，由二次函数性质，在上，，；在上，，；在，，，∴在，单调递增，在单调递减，又，∴，，又，，所以存在唯一的，使得，即有3个零点．【点睛】（1）含参不等式恒成立问题，一般通过构造函数解决.一般将参数分离出来，用导数法讨论不含参数部分的最值；或者包含参数一起，用导数法对参数分类讨论.当参数不能分离出来时，也可尝试将不等式左右变形成一致形式，即可将该形式构造成函数，通过导数法分析单调性，将问题等价成对应自变量的不等式.（2）含参函数零点个数问题，i.一般对参数分类讨论，利用导数研究函数的单调性，结合函数图象与零点存在定理判断；ii.将参数分离出来，用导数法讨论不含参数部分的单调性，由数形结合，转化成两个图象交点的问题；19.定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数．已知函数．（1）当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由；（2）是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（3）若，求的极值差比系数的取值范围．【答案】（1）是极值可差比函数，理由见解析；（2）不存在使的极值差比系数为，理由见解析；（3）．【解析】【分析】（1）利用函数的导函数求出单调区间，由此得出极大值与极小值，由“极值可差比函数”的定义，求出极值差比系数的值，这样的值存在即可判断.（2）反证法，假设存在这样的，又“极值可差比函数”的定义列出等量关系，证明无解即可.（3）由（2）得到参数与极值点的关系式，对关系式进行转化，得出相应函数，利用导函数求出单调性即可得出函数取值范围.【小问1详解】当时，，所以，当时，f′x>0；当时，f′x<0，所以在和上单调递增，在上单调递减，所以极大值为，极小值为，所以，因此是极值可差比函数．【小问2详解】的定义域为，即，假设存在，使得的极值差比系数