河南省信阳高级中学北湖校区2024-2025学年高二上期开学测试数学试题命题人：杨立雅审题人：龚宏伟一、单选题1．如图，平行四边形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中OA4，OC2，AOC30，则原图形OA与BC间的距离为A．1B．2C．22D．4π2．为了得到函数y2sin3x的图象，只要把函数y2sin3x图象上所有的点5ππA．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度55ππC．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度1515fx3．已知函数f2x1的定义域为1，2，则函数y的定义域为x1A．x|1x2B．x|1x51C．x|1xD．{x|1x5}224．直线l1:axy10与l2:3x(a2)ya40平行，则实数a的值是A．-1或3B．-1C．-3或1D．35．已知a，b，c是三个非零平面向量，则下列叙述正确的是A．若|a||b|，则abB．若|ab||ab|，则abrrrrC．若abac，则bcD．若a//b，则ab|a||b|6．已知m,n是两条不同的直线，，是两个不重合的平面，则有下列命题①m//，n//，//m//n；②，m，nmn；1学科网（北京）股份有限公司③m//n，m，n；④，mm.其中正确命题的个数为A．0B．1C．2D．3127．在三棱锥PABC中，点M,N分别在棱PC,PB上，且PMPC，PNPB，33则三棱锥PAMN和三棱锥PABC的体积之比为1124A．B．C．D．9399二、多选题8．已知i为虚数单位，则22A．若复数z的共轭复数为z，则zzzzB．若x,Cy，则xyi1i的充要条件是xy1C．若复数z1z2，则z1，z2R3i35D．若复数z，则z2i59．已知a0，b0，且ab4，则A．a2b4B．a1b11abC．log2alog2b2D．24810．下列说法不正确的有A．若两条直线2xay50与ax2y50互相平行，则实数a的值为2B．若直线ykxb不经过第三象限，则点(,)kb在第二象限C．过点(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为xy5D．已知直线kxyk10和以M(3,1)，N(3,2)为端点的线段相交，则实数k31的取值范围为k或k2211．VABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，下列叙述正确的是A．若acosBbcosA，则VABC是等腰三角形abcB．若，则VABC一定是等边三角形cosABCcoscosC．若AB，则cosABcos2学科网（北京）股份有限公司πD．若2bac，则B0,312．阳马和鳖臑［biēnào］是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱（图2，图3），称为堑堵．再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开（图4），得四棱锥和三棱锥各一个．以矩形为底，有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马（图5）．余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑（图6）．若图1中的长方体是棱长为4的正方体，则下列结论正确的是A．鳖臑中只有一个面不是直角三角形B．鳖臑的外接球半径为231．鳖臑的体积为正方体的．鳖臑内切球半径为C4D222三、填空题13．正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点，则ECED.π114．若0,,tan，则sincos．22215．已知一组数据x1,x2,,xn的平均数x6，方差s21，去掉一个数据之后，剩余数据的平均数没有变，方差变为24，则这组数据的个数n.16．在三棱锥PABC中，VABC是等边三角形，PA平面ABC，PA4，AB22，D是AC的中点，球O为三棱锥PABD的外接球，G是球O上的一点，则三棱锥GPDC体积的最大值是.四、解答题17．已知点A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，设aAB，bAC．3学科网（北京）股份有限公司（1）求a，b夹角的余弦值．（2）若向量kab，ka2b垂直，求k的值．（3）若向量ab，ab平行，求的值．18．某城市医保局为了对该城市多层次医疗保障体系建设加强监管，随机选取了100名参保群众，就该城市多层次医疗保障体系建设的推行情况进行问卷调查，并将这100人的问卷根据其满意度评分值（百分制）按照[50,60),[60,70),,[90,100]分成5组，制成如图所示频率分布直方图.（1）求图中x的值；（2）求这组数据的中位数；（3）已知满意度评分值在[80,90)内的男生数与女生数的比为3:2，若在满意度评分值为[80,90)的人中按照性别采用分层抽样的方法抽取5人，并分别依次进行座谈，求前2人均为男生的概率.19．已知圆C和直线l1：xy10，l2：2xy20，若圆C的圆心为2,1且经过直线l1和l2的交点.（1）求圆C的标准方程；（2）直线l：kxy20与圆C交于M，N两点，且MN26，求直线l的方程.4学科网（北京）股份有限公司B20．在ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，且bsinC3csin.2（1）求角B的大小；（2）若b6，且VABC的面积为73，求AC边上的中线长.221．如图，三棱锥ABCD中，DADBDC，BDCD，ADBADC60，E为BC的中点．（1）证明：BCDA；（2）点F满足EFDA，求二面角DABF的正弦值．22．作为世界乒坛本赛季收官战，首届WTT(世界乒乓球职业大联盟)世界杯总决赛2021年12月7日在新加坡结束男女单打决赛的较量，国乒包揽双冠成为最大赢家．我市男子乒乓球队为备战下届市运会，在某训练基地进行封闭式训练，甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为2，乙发球甲赢的概率为1，不同34球的结果互不影响，已知某局甲先发球．（1）求该局打4个球甲赢的概率；（2）求该局打5个球结束的概率．5学科网（北京）股份有限公司河南省信阳高级中学北湖校区2024-2025学年高二上期开学测试数学答案题号12345678910答案CDBDBBCACDADBC题号1112答案ABCBD．5．13314．15816．2351017．(1)105(2)k2或k.2(3)1【分析】（1）利用夹角公式可求夹角的余弦值.（2）利用向量垂直的坐标形式可求参数的值.（3）利用共线向量定理可求参数的值.【详解】（1）a1,1,0，b1,0,2，10010故cosa,b.2510（2）由（1）可得kabk1,k,2，ka2bk2,k,4，2因为向量kab，ka2b垂直，故k2k1k80，5整理得到：2k2k100，故k2或k.2（3）由（1）可得a,b不共线，故ab，ab均不为零向量，若向量ab，ab平行，则存在非零常数t，使得abtab，整理得到：tat1b0，t0因为a,b不共线，故，故t1或t1，t10故1.1学科网（北京）股份有限公司18．(1)0.02540(2)73(3)10【分析】（1）利用频率之和为1求解即可；（2）先判断中位数所在区间，再利用中位数的定义列式求解即可；（3）先利用分层抽样确定男女生人数，再利用列举法与古典概型的概率公式求解即可.【详解】（1）依题意，得0.005x0.0350.0300.01101，解得x0.02；（2）因为0.0050.02100.250.5，0.250.035100.60.5，所以中位数在70,80间，设为m，540则0.25m700.0350.5，解得m.7（3）依题意，因为满意度评分值在80,90的男生数与女生数的比为3:2，按照分层抽样的方法在其中随机抽取5人，则抽中男生3人，女生2人，依次分别记为A1,A2,A3,B1,B2，对这5人依次进行座谈，前2人的基本事件有：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2，共10件，设“前2人均为男生”为事件A，其包含的基本事件有：A1A2，A1A3，A2A3，共3个，3所以PA．102219．(1)x2y110(2)5x12y240【分析】（1）求出交点坐标，进而得到半径，得到圆的标准方程；（2）由垂径定理得到圆心2,1到直线kxy20的距离，利用点到直线距离公式求出答案.2学科网（北京）股份有限公司xy10x1【详解】（1）联立，解得，2xy20y022故半径为211010，22故圆C的标准方程为x2y110；（2）设圆心2,1到直线kxy20的距离为d，则由垂径定理得MN210d226，2k125解得d2，即2，解得k，1k2125故直线l的方程为xy20，即5x12y240.12π20．(1)B3(2)4【分析】（1）利用正弦定理边角互化，转化为三角函数求角；（2）首先根据三角形的面积公式，求得ac14，再根据余弦定理求得a2c250，再根据中线向量关系，利用数量积公式，即可求解.BB【详解】（1）bsinC3csin，∴由正弦定理得：sinBsinC3sinCsin，22C0,π，∴sinC0，BBBB∴sinB3sin，即2sincos3sin，2222BπB0,，∴sin0，222B3Bπ∴cos，2226πB311373（2）SacsinBac，ac14，ABC2222在VABC中，由余弦定理b2a2c22accosB得36a2c2ac，所以a2c250，设AC的中点为D，则2BDBCBA，3学科网（北京）股份有限公司两边同时平方得：2224BD(BCBA)2BCBA2BCBA=a2c2ac642所以BD16，所以BD4.21．(1)证明见解析；3(2)．3【分析】（1）根据题意易证BC平面ADE，从而证得BCDA；（2）由题可证AE平面BCD，所以以点E为原点，ED,EB,EA所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，再求出平面ABD,ABF的一个法向量，根据二面角的向量公式以及同角三角函数关系即可解出．【详解】（1）连接AE,DE，因为E为BC中点，DBDC，所以DEBC①，因为DADBDC，ADBADC60，所以ACD与△ABD均为等边三角形，ACAB，从而AEBC②，由①②，AEDEE，AE,DE平面ADE，所以，BC平面ADE，而AD平面ADE，所以BCDA．（2）不妨设DADBDC2，BDCD，BC22,DEAE2．AE2DE24AD2，AEDE，又AEBC,DEBCE，DE,BC平面BCDAE平面BCD．以点E为原点，ED,EB,EA所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：设D(2,